Algèbre Exemples

$x = {(y + 2)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez ${(y + 2)}^{2}$ .

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Étape 1.1

Réécrivez ${(y + 2)}^{2}$ comme $(y + 2) (y + 2)$ .

$x = (y + 2) (y + 2)$

Étape 1.2

Développez $(y + 2) (y + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = y (y + 2) + 2 (y + 2)$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = y \cdot y + y \cdot 2 + 2 (y + 2)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = y \cdot y + y \cdot 2 + 2 y + 2 \cdot 2$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$x = y^{2} + y \cdot 2 + 2 y + 2 \cdot 2$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$x = y^{2} + 2 \cdot y + 2 y + 2 \cdot 2$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = y^{2} + 2 y + 2 y + 4$

Étape 1.3.2

Additionnez $2 y$ et $2 y$ .

$x = y^{2} + 4 y + 4$

Étape 2

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 2.1.1

Complétez le carré pour $y^{2} + 4 y + 4$ .

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Étape 2.1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 4$

$c = 4$

Étape 2.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.1.3.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.1.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.1.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Étape 2.1.1.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.1.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{2}{1}$

Étape 2.1.1.3.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$d = 2$

Étape 2.1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 4 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun à $4^{2}$ et $4$ .

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Étape 2.1.1.4.2.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4^{2}$ .

$e = 4 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Étape 2.1.1.4.2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.4.2.1.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 1$ .

$e = 4 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Étape 2.1.1.4.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = 4 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Étape 2.1.1.4.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = 4 - \frac{4}{1}$

Étape 2.1.1.4.2.1.1.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$e = 4 - 1 \cdot 4$

Étape 2.1.1.4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = 4 - 4$

Étape 2.1.1.4.2.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$e = 0$

Étape 2.1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y + 2)}^{2} + 0$ .

${(y + 2)}^{2} + 0$

Étape 2.1.2

Définissez $x$ égal au nouveau côté droit.

$x = {(y + 2)}^{2} + 0$

Étape 2.2

Utilisez la forme du sommet, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = 1$

$h = 0$

$k = - 2$

Étape 2.3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers la droite.

ouvre vers la droite

Étape 2.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(0, - 2)$

Étape 2.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 2.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 2.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 2.5.3

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 2.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 2.5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4}$

Étape 2.6

Déterminez le foyer.

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Étape 2.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée x $h$ si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$(h + p, k)$

Étape 2.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(\frac{1}{4}, - 2)$

Étape 2.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$y = - 2$

Étape 2.8

Déterminez la directrice.

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Étape 2.8.1

La directrice d’une parabole est la droite verticale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée x $h$ du sommet si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$x = h - p$

Étape 2.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $h$ dans la formule et simplifiez.

$x = - \frac{1}{4}$

Étape 2.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(0, - 2)$

Foyer : $(\frac{1}{4}, - 2)$

Axe de symétrie : $y = - 2$

Directrice : $x = - \frac{1}{4}$

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(0, - 2)$

Foyer : $(\frac{1}{4}, - 2)$

Axe de symétrie : $y = - 2$

Directrice : $x = - \frac{1}{4}$

Étape 3

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 3.1

Remplacez la valeur $x$ $1$ dans $f (x) = \sqrt{x} - 2$ . Dans ce cas, le point est $(1, - 1)$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \sqrt{1} - 2$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (1) = \sqrt{1} - 2$

Étape 3.1.2.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (1) = 1 - 2$

Étape 3.1.2.3

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f (1) = - 1$

Étape 3.1.2.4

La réponse finale est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 3.1.3

Convertissez $- 1$ en décimale.

$= - 1$

Étape 3.2

Remplacez la valeur $x$ $1$ dans $f (x) = - \sqrt{x} - 2$ . Dans ce cas, le point est $(1, - 3)$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = - \sqrt{1} - 2$

Étape 3.2.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (1) = - \sqrt{1} - 2$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.2.1

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (1) = - 1 \cdot 1 - 2$

Étape 3.2.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1) = - 1 - 2$

Étape 3.2.2.3

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$f (1) = - 3$

Étape 3.2.2.4

La réponse finale est $- 3$ .

$y = - 3$

Étape 3.2.3

Convertissez $- 3$ en décimale.

$= - 3$

Étape 3.3

Remplacez la valeur $x$ $2$ dans $f (x) = \sqrt{x} - 2$ . Dans ce cas, le point est $(2, - 0.58578643)$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \sqrt{2} - 2$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (2) = \sqrt{2} - 2$

Étape 3.3.2.2

La réponse finale est $\sqrt{2} - 2$ .

$y = \sqrt{2} - 2$

Étape 3.3.3

Convertissez $\sqrt{2} - 2$ en décimale.

$= - 0.58578643$

Étape 3.4

Remplacez la valeur $x$ $2$ dans $f (x) = - \sqrt{x} - 2$ . Dans ce cas, le point est $(2, - 3.41421356)$ .

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Étape 3.4.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = - \sqrt{2} - 2$

Étape 3.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (2) = - \sqrt{2} - 2$

Étape 3.4.2.2

La réponse finale est $- \sqrt{2} - 2$ .

$y = - \sqrt{2} - 2$

Étape 3.4.3

Convertissez $- \sqrt{2} - 2$ en décimale.

$= - 3.41421356$

Étape 3.5

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 2 \\ 1 & - 1 \\ 1 & - 3 \\ 2 & - 0.59 \\ 2 & - 3.41 \end{array}$

Étape 4

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(0, - 2)$

Foyer : $(\frac{1}{4}, - 2)$

Axe de symétrie : $y = - 2$

Directrice : $x = - \frac{1}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 2 \\ 1 & - 1 \\ 1 & - 3 \\ 2 & - 0.59 \\ 2 & - 3.41 \end{array}$

Étape 5