Algèbre Exemples

${(x - 5)}^{3}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(x)}^{3 - k} \cdot {(- 5)}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} {(x)}^{3 - 0} \cdot {(- 5)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} {(x)}^{3 - 1} \cdot {(- 5)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} {(x)}^{3 - 2} \cdot {(- 5)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} {(x)}^{3 - 3} \cdot {(- 5)}^{3}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(- 5)}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- 5)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- 5)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- 5)}^{3}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(x)}^{3}$ par $1$ .

${(x)}^{3} \cdot {(- 5)}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- 5)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- 5)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- 5)}^{3}$

Étape 4.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- 5)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- 5)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- 5)}^{3}$

Étape 4.3

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- 5)}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- 5)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- 5)}^{3}$

Étape 4.4

Évaluez l’exposant.

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 5 + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- 5)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- 5)}^{3}$

Étape 4.5

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$x^{3} - 15 x^{2} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- 5)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- 5)}^{3}$

Étape 4.6

Simplifiez

$x^{3} - 15 x^{2} + 3 \cdot x \cdot {(- 5)}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- 5)}^{3}$

Étape 4.7

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$x^{3} - 15 x^{2} + 3 x \cdot 25 + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- 5)}^{3}$

Étape 4.8

Multipliez $25$ par $3$ .

$x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- 5)}^{3}$

Étape 4.9

Multipliez ${(x)}^{0}$ par $1$ .

$x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + {(x)}^{0} \cdot {(- 5)}^{3}$

Étape 4.10

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + 1 \cdot {(- 5)}^{3}$

Étape 4.11

Multipliez ${(- 5)}^{3}$ par $1$ .

$x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + {(- 5)}^{3}$

Étape 4.12

Élevez $- 5$ à la puissance $3$ .

$x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$