Algèbre Exemples

$\sqrt{4 y + 1} - \sqrt{y - 2} = 3$

Étape 1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{4 y + 1} - \sqrt{y - 2} - 3 = 0$

Étape 2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\sqrt{4 y + 1}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.1

Ajoutez $\sqrt{y - 2}$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{4 y + 1} - 3 = \sqrt{y - 2}$

Étape 2.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{4 y + 1} = \sqrt{y - 2} + 3$

Étape 3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{4 y + 1}}^{2} = {(\sqrt{y - 2} + 3)}^{2}$

Étape 4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 y + 1}$ comme ${(4 y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{y - 2} + 3)}^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez ${({(4 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(4 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{y - 2} + 3)}^{2}$

Étape 4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(4 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{y - 2} + 3)}^{2}$

Étape 4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(4 y + 1)}^{1} = {(\sqrt{y - 2} + 3)}^{2}$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez

$4 y + 1 = {(\sqrt{y - 2} + 3)}^{2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Simplifiez ${(\sqrt{y - 2} + 3)}^{2}$ .

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Étape 4.3.1.1

Réécrivez ${(\sqrt{y - 2} + 3)}^{2}$ comme $(\sqrt{y - 2} + 3) (\sqrt{y - 2} + 3)$ .

$4 y + 1 = (\sqrt{y - 2} + 3) (\sqrt{y - 2} + 3)$

Étape 4.3.1.2

Développez $(\sqrt{y - 2} + 3) (\sqrt{y - 2} + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 y + 1 = \sqrt{y - 2} (\sqrt{y - 2} + 3) + 3 (\sqrt{y - 2} + 3)$

Étape 4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 y + 1 = \sqrt{y - 2} \sqrt{y - 2} + \sqrt{y - 2} \cdot 3 + 3 (\sqrt{y - 2} + 3)$

Étape 4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 y + 1 = \sqrt{y - 2} \sqrt{y - 2} + \sqrt{y - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{y - 2} + 3 \cdot 3$

Étape 4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.3.1.1

Multipliez $\sqrt{y - 2} \sqrt{y - 2}$ .

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Étape 4.3.1.3.1.1.1

Élevez $\sqrt{y - 2}$ à la puissance $1$ .

$4 y + 1 = {\sqrt{y - 2}}^{1} \sqrt{y - 2} + \sqrt{y - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{y - 2} + 3 \cdot 3$

Étape 4.3.1.3.1.1.2

Élevez $\sqrt{y - 2}$ à la puissance $1$ .

$4 y + 1 = {\sqrt{y - 2}}^{1} {\sqrt{y - 2}}^{1} + \sqrt{y - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{y - 2} + 3 \cdot 3$

Étape 4.3.1.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 y + 1 = {\sqrt{y - 2}}^{1 + 1} + \sqrt{y - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{y - 2} + 3 \cdot 3$

Étape 4.3.1.3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 y + 1 = {\sqrt{y - 2}}^{2} + \sqrt{y - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{y - 2} + 3 \cdot 3$

Étape 4.3.1.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{y - 2}}^{2}$ comme $y - 2$ .

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Étape 4.3.1.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y - 2}$ comme ${(y - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 y + 1 = {({(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{y - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{y - 2} + 3 \cdot 3$

Étape 4.3.1.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y + 1 = {(y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{y - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{y - 2} + 3 \cdot 3$

Étape 4.3.1.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$4 y + 1 = {(y - 2)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{y - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{y - 2} + 3 \cdot 3$

Étape 4.3.1.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.1.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$4 y + 1 = {(y - 2)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{y - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{y - 2} + 3 \cdot 3$

Étape 4.3.1.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$4 y + 1 = {(y - 2)}^{1} + \sqrt{y - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{y - 2} + 3 \cdot 3$

Étape 4.3.1.3.1.2.5

Simplifiez

$4 y + 1 = y - 2 + \sqrt{y - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{y - 2} + 3 \cdot 3$

Étape 4.3.1.3.1.3

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{y - 2}$ .

$4 y + 1 = y - 2 + 3 \cdot \sqrt{y - 2} + 3 \sqrt{y - 2} + 3 \cdot 3$

Étape 4.3.1.3.1.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$4 y + 1 = y - 2 + 3 \sqrt{y - 2} + 3 \sqrt{y - 2} + 9$

Étape 4.3.1.3.2

Additionnez $- 2$ et $9$ .

$4 y + 1 = y + 7 + 3 \sqrt{y - 2} + 3 \sqrt{y - 2}$

Étape 4.3.1.3.3

Additionnez $3 \sqrt{y - 2}$ et $3 \sqrt{y - 2}$ .

$4 y + 1 = y + 7 + 6 \sqrt{y - 2}$

Étape 5

Résolvez $6 \sqrt{y - 2}$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $y + 7 + 6 \sqrt{y - 2} = 4 y + 1$ .

$y + 7 + 6 \sqrt{y - 2} = 4 y + 1$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $6 \sqrt{y - 2}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$7 + 6 \sqrt{y - 2} = 4 y + 1 - y$

Étape 5.2.2

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$6 \sqrt{y - 2} = 4 y + 1 - y - 7$

Étape 5.2.3

Soustrayez $y$ de $4 y$ .

$6 \sqrt{y - 2} = 3 y + 1 - 7$

Étape 5.2.4

Soustrayez $7$ de $1$ .

$6 \sqrt{y - 2} = 3 y - 6$

Étape 6

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(6 \sqrt{y - 2})}^{2} = {(3 y - 6)}^{2}$

Étape 7

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y - 2}$ comme ${(y - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(6 {(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y - 6)}^{2}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Simplifiez ${(6 {(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 7.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $6 {(y - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$6^{2} {({(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y - 6)}^{2}$

Étape 7.2.1.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$36 {({(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y - 6)}^{2}$

Étape 7.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 7.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 {(y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 y - 6)}^{2}$

Étape 7.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$36 {(y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 y - 6)}^{2}$

Étape 7.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$36 {(y - 2)}^{1} = {(3 y - 6)}^{2}$

Étape 7.2.1.4

Simplifiez

$36 (y - 2) = {(3 y - 6)}^{2}$

Étape 7.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$36 y + 36 \cdot - 2 = {(3 y - 6)}^{2}$

Étape 7.2.1.6

Multipliez $36$ par $- 2$ .

$36 y - 72 = {(3 y - 6)}^{2}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Simplifiez ${(3 y - 6)}^{2}$ .

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Étape 7.3.1.1

Réécrivez ${(3 y - 6)}^{2}$ comme $(3 y - 6) (3 y - 6)$ .

$36 y - 72 = (3 y - 6) (3 y - 6)$

Étape 7.3.1.2

Développez $(3 y - 6) (3 y - 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$36 y - 72 = 3 y (3 y - 6) - 6 (3 y - 6)$

Étape 7.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$36 y - 72 = 3 y (3 y) + 3 y \cdot - 6 - 6 (3 y - 6)$

Étape 7.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$36 y - 72 = 3 y (3 y) + 3 y \cdot - 6 - 6 (3 y) - 6 \cdot - 6$

Étape 7.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$36 y - 72 = 3 \cdot 3 y \cdot y + 3 y \cdot - 6 - 6 (3 y) - 6 \cdot - 6$

Étape 7.3.1.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.3.1.3.1.2.1

Déplacez $y$ .

$36 y - 72 = 3 \cdot 3 (y \cdot y) + 3 y \cdot - 6 - 6 (3 y) - 6 \cdot - 6$

Étape 7.3.1.3.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$36 y - 72 = 3 \cdot 3 y^{2} + 3 y \cdot - 6 - 6 (3 y) - 6 \cdot - 6$

Étape 7.3.1.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$36 y - 72 = 9 y^{2} + 3 y \cdot - 6 - 6 (3 y) - 6 \cdot - 6$

Étape 7.3.1.3.1.4

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$36 y - 72 = 9 y^{2} - 18 y - 6 (3 y) - 6 \cdot - 6$

Étape 7.3.1.3.1.5

Multipliez $3$ par $- 6$ .

$36 y - 72 = 9 y^{2} - 18 y - 18 y - 6 \cdot - 6$

Étape 7.3.1.3.1.6

Multipliez $- 6$ par $- 6$ .

$36 y - 72 = 9 y^{2} - 18 y - 18 y + 36$

Étape 7.3.1.3.2

Soustrayez $18 y$ de $- 18 y$ .

$36 y - 72 = 9 y^{2} - 36 y + 36$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$9 y^{2} - 36 y + 36 = 36 y - 72$

Étape 8.2

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 8.2.1

Soustrayez $36 y$ des deux côtés de l’équation.

$9 y^{2} - 36 y + 36 - 36 y = - 72$

Étape 8.2.2

Soustrayez $36 y$ de $- 36 y$ .

$9 y^{2} - 72 y + 36 = - 72$

Étape 8.3

Ajoutez $72$ aux deux côtés de l’équation.

$9 y^{2} - 72 y + 36 + 72 = 0$

Étape 8.4

Additionnez $36$ et $72$ .

$9 y^{2} - 72 y + 108 = 0$

Étape 8.5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 8.5.1

Factorisez $9$ à partir de $9 y^{2} - 72 y + 108$ .

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Étape 8.5.1.1

Factorisez $9$ à partir de $9 y^{2}$ .

$9 (y^{2}) - 72 y + 108 = 0$

Étape 8.5.1.2

Factorisez $9$ à partir de $- 72 y$ .

$9 (y^{2}) + 9 (- 8 y) + 108 = 0$

Étape 8.5.1.3

Factorisez $9$ à partir de $108$ .

$9 y^{2} + 9 (- 8 y) + 9 \cdot 12 = 0$

Étape 8.5.1.4

Factorisez $9$ à partir de $9 y^{2} + 9 (- 8 y)$ .

$9 (y^{2} - 8 y) + 9 \cdot 12 = 0$

Étape 8.5.1.5

Factorisez $9$ à partir de $9 (y^{2} - 8 y) + 9 \cdot 12$ .

$9 (y^{2} - 8 y + 12) = 0$

Étape 8.5.2

Factorisez.

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Étape 8.5.2.1

Factorisez $y^{2} - 8 y + 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 8.5.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $12$ et dont la somme est $- 8$ .

$- 6, - 2$

Étape 8.5.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$9 ((y - 6) (y - 2)) = 0$

Étape 8.5.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$9 (y - 6) (y - 2) = 0$

Étape 8.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y - 6 = 0$

$y - 2 = 0$

Étape 8.7

Définissez $y - 6$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 8.7.1

Définissez $y - 6$ égal à $0$ .

$y - 6 = 0$

Étape 8.7.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 6$

Étape 8.8

Définissez $y - 2$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 8.8.1

Définissez $y - 2$ égal à $0$ .

$y - 2 = 0$

Étape 8.8.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 2$

Étape 8.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $9 (y - 6) (y - 2) = 0$ vraie.

$y = 6, 2$