Algèbre Exemples

$x^{\frac{3}{2}} = 8$

Étape 1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x^{\frac{3}{2}} - 8 = 0$

Étape 2

Réécrivez $x^{\frac{3}{2}}$ comme ${(x^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{3} - 8 = 0$

Étape 3

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{3} - 2^{3} = 0$

Étape 4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x^{\frac{1}{2}}$ et $b = 2$ .

$(x^{\frac{1}{2}} - 2) ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x^{\frac{1}{2}} - 2) (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Étape 5.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$(x^{\frac{1}{2}} - 2) (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Étape 5.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$(x^{\frac{1}{2}} - 2) (x + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Étape 5.2

Simplifiez

$(x^{\frac{1}{2}} - 2) (x + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Étape 5.3

Déplacez $2$ à gauche de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(x^{\frac{1}{2}} - 2) (x + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2^{2}) = 0$

Étape 5.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$(x^{\frac{1}{2}} - 2) (x + 2 x^{\frac{1}{2}} + 4) = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 2 = 0$

$x + 2 x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$

Étape 7

Définissez $x^{\frac{1}{2}} - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x^{\frac{1}{2}} - 2$ égal à $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 2 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $x^{\frac{1}{2}} - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{\frac{1}{2}} = 2$

Étape 7.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

Étape 7.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 7.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.3.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 7.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 7.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Étape 7.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Étape 7.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 2^{2}$

Étape 7.2.3.1.1.2

Simplifiez

$x = 2^{2}$

Étape 7.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.3.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = 4$

Étape 8

Définissez $x + 2 x^{\frac{1}{2}} + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $x + 2 x^{\frac{1}{2}} + 4$ égal à $0$ .

$x + 2 x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$

Étape 8.2

Résolvez $x + 2 x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 8.2.1

Déterminez un facteur commun $x^{\frac{1}{2}}$ présent dans chaque terme.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} + 4$

Étape 8.2.2

Remplacez $x^{\frac{1}{2}}$ par $u$ .

${(u)}^{2} + 2 (u) + 4 = 0$

Étape 8.2.3

Résolvez $u$ .

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Étape 8.2.3.1

Multipliez $2$ par $u$ .

$u^{2} + 2 u + 4 = 0$

Étape 8.2.3.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 8.2.3.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 2$ et $c = 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.4

Simplifiez

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Étape 8.2.3.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.4.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 8.2.3.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.4.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.4.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.4.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.4.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.4.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.4.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8.2.3.4.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$u = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 8.2.3.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 8.2.3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.3.5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 8.2.3.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.5.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.5.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.5.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 8.2.3.5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8.2.3.5.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$u = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 8.2.3.5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$u = - 1 + i \sqrt{3}$

Étape 8.2.3.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 8.2.3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.3.6.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 8.2.3.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.6.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.6.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.6.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 8.2.3.6.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.6.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.6.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8.2.3.6.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$u = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 8.2.3.6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$u = - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 8.2.3.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 8.2.4

Remplacez $u$ par $x$ .

$x^{\frac{1}{2}} = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 8.2.5

Résolvez $x^{\frac{1}{2}} = - 1 + i \sqrt{3}$ pour $x$ .

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Étape 8.2.5.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1 + i \sqrt{3})}^{2}$

Étape 8.2.5.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 8.2.5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.5.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 8.2.5.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 8.2.5.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1 + i \sqrt{3})}^{2}$

Étape 8.2.5.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.5.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1 + i \sqrt{3})}^{2}$

Étape 8.2.5.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(- 1 + i \sqrt{3})}^{2}$

Étape 8.2.5.2.1.1.2

Simplifiez

$x = {(- 1 + i \sqrt{3})}^{2}$

Étape 8.2.5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.5.2.2.1

Simplifiez ${(- 1 + i \sqrt{3})}^{2}$ .

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Étape 8.2.5.2.2.1.1

Réécrivez ${(- 1 + i \sqrt{3})}^{2}$ comme $(- 1 + i \sqrt{3}) (- 1 + i \sqrt{3})$ .

$x = (- 1 + i \sqrt{3}) (- 1 + i \sqrt{3})$

Étape 8.2.5.2.2.1.2

Développez $(- 1 + i \sqrt{3}) (- 1 + i \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 8.2.5.2.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = - 1 (- 1 + i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} (- 1 + i \sqrt{3})$

Étape 8.2.5.2.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = - 1 \cdot - 1 - 1 (i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} (- 1 + i \sqrt{3})$

Étape 8.2.5.2.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = - 1 \cdot - 1 - 1 (i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} \cdot - 1 + i \sqrt{3} (i \sqrt{3})$

Étape 8.2.5.2.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 8.2.5.2.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.5.2.2.1.3.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1 - 1 (i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} \cdot - 1 + i \sqrt{3} (i \sqrt{3})$

Étape 8.2.5.2.2.1.3.1.2

Réécrivez $- 1 (i \sqrt{3})$ comme $- (i \sqrt{3})$ .

$x = 1 - (i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} \cdot - 1 + i \sqrt{3} (i \sqrt{3})$

Étape 8.2.5.2.2.1.3.1.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $i \sqrt{3}$ .

$x = 1 - i \sqrt{3} - 1 \cdot (i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} (i \sqrt{3})$

Étape 8.2.5.2.2.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 (i \sqrt{3})$ comme $- (i \sqrt{3})$ .

$x = 1 - i \sqrt{3} - (i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} (i \sqrt{3})$

Étape 8.2.5.2.2.1.3.1.5

Multipliez $i \sqrt{3} (i \sqrt{3})$ .

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Étape 8.2.5.2.2.1.3.1.5.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = 1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + i^{1} i \sqrt{3} \sqrt{3}$

Étape 8.2.5.2.2.1.3.1.5.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = 1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + i^{1} i^{1} \sqrt{3} \sqrt{3}$

Étape 8.2.5.2.2.1.3.1.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = 1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + i^{1 + 1} \sqrt{3} \sqrt{3}$

Étape 8.2.5.2.2.1.3.1.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = 1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + i^{2} \sqrt{3} \sqrt{3}$

Étape 8.2.5.2.2.1.3.1.5.5

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = 1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})$

Étape 8.2.5.2.2.1.3.1.5.6

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = 1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})$

Étape 8.2.5.2.2.1.3.1.5.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = 1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

Étape 8.2.5.2.2.1.3.1.5.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = 1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + i^{2} {\sqrt{3}}^{2}$

Étape 8.2.5.2.2.1.3.1.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$x = 1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} - 1 {\sqrt{3}}^{2}$

Étape 8.2.5.2.2.1.3.1.7

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 8.2.5.2.2.1.3.1.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = 1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} - 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 8.2.5.2.2.1.3.1.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} - 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 8.2.5.2.2.1.3.1.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = 1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Étape 8.2.5.2.2.1.3.1.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.5.2.2.1.3.1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = 1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Étape 8.2.5.2.2.1.3.1.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = 1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} - 1 \cdot 3^{1}$

Étape 8.2.5.2.2.1.3.1.7.5

Évaluez l’exposant.

$x = 1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} - 1 \cdot 3$

Étape 8.2.5.2.2.1.3.1.8

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$x = 1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} - 3$

Étape 8.2.5.2.2.1.3.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$x = - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} - 2$

Étape 8.2.5.2.2.1.3.3

Soustrayez $i \sqrt{3}$ de $- i \sqrt{3}$ .

$x = - 2 i \sqrt{3} - 2$

Étape 8.2.5.2.2.1.4

Remettez dans l’ordre $- 2 i \sqrt{3}$ et $- 2$ .

$x = - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Étape 8.2.6

Résolvez $x^{\frac{1}{2}} = - 1 - i \sqrt{3}$ pour $x$ .

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Étape 8.2.6.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1 - i \sqrt{3})}^{2}$

Étape 8.2.6.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 8.2.6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.6.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 8.2.6.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 8.2.6.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1 - i \sqrt{3})}^{2}$

Étape 8.2.6.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.6.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1 - i \sqrt{3})}^{2}$

Étape 8.2.6.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(- 1 - i \sqrt{3})}^{2}$

Étape 8.2.6.2.1.1.2

Simplifiez

$x = {(- 1 - i \sqrt{3})}^{2}$

Étape 8.2.6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.6.2.2.1

Simplifiez ${(- 1 - i \sqrt{3})}^{2}$ .

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Étape 8.2.6.2.2.1.1

Réécrivez ${(- 1 - i \sqrt{3})}^{2}$ comme $(- 1 - i \sqrt{3}) (- 1 - i \sqrt{3})$ .

$x = (- 1 - i \sqrt{3}) (- 1 - i \sqrt{3})$

Étape 8.2.6.2.2.1.2

Développez $(- 1 - i \sqrt{3}) (- 1 - i \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 8.2.6.2.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = - 1 (- 1 - i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} (- 1 - i \sqrt{3})$

Étape 8.2.6.2.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = - 1 \cdot - 1 - 1 (- i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} (- 1 - i \sqrt{3})$

Étape 8.2.6.2.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = - 1 \cdot - 1 - 1 (- i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} \cdot - 1 - i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$

Étape 8.2.6.2.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 8.2.6.2.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1 - 1 (- i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} \cdot - 1 - i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.2

Multipliez $- 1 (- i \sqrt{3})$ .

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Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1 + 1 (i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} \cdot - 1 - i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.2.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$x = 1 + \sqrt{3} i - i \sqrt{3} \cdot - 1 - i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.3

Multipliez $- i \sqrt{3} \cdot - 1$ .

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Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1 + \sqrt{3} i + 1 i \sqrt{3} - i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.3.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$x = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i - i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.4

Multipliez $- i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$ .

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Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 1 i \sqrt{3} (i \sqrt{3})$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.4.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$x = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i (i \sqrt{3})$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3} i i$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.4.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1} i i$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{1 + 1} i i$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{2} i i$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.4.7

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{2} (i^{1} i)$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.4.8

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{2} (i^{1} i^{1})$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.4.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{2} i^{1 + 1}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.4.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{2} i^{2}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3^{\frac{2}{2}} i^{2}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3^{\frac{2}{2}} i^{2}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3^{1} i^{2}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$x = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3 i^{2}$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$x = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3 \cdot - 1$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.1.7

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$x = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i - 3$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$x = - 2 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i$

Étape 8.2.6.2.2.1.3.3

Additionnez $\sqrt{3} i$ et $\sqrt{3} i$ .

$x = - 2 + 2 \sqrt{3} i$

Étape 8.2.7

Indiquez toutes les solutions.

$x = - 2 - 2 i \sqrt{3}, - 2 + 2 \sqrt{3} i$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{\frac{1}{2}} - 2) (x + 2 x^{\frac{1}{2}} + 4) = 0$ vraie.

$x = 4, - 2 - 2 i \sqrt{3}, - 2 + 2 \sqrt{3} i$