Algèbre Exemples

$2 y^{2} + 14 y = - 19$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $2 y^{2} + 14 y = - 19$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $2 y^{2} + 14 y = - 19$ par $2$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} + \frac{14 y}{2} = \frac{- 19}{2}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y^{2}}{2} + \frac{14 y}{2} = \frac{- 19}{2}$

Étape 1.2.1.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} + \frac{14 y}{2} = \frac{- 19}{2}$

Étape 1.2.1.2

Annulez le facteur commun à $14$ et $2$ .

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Étape 1.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $14 y$ .

$y^{2} + \frac{2 (7 y)}{2} = \frac{- 19}{2}$

Étape 1.2.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y^{2} + \frac{2 (7 y)}{2 (1)} = \frac{- 19}{2}$

Étape 1.2.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} + \frac{2 (7 y)}{2 \cdot 1} = \frac{- 19}{2}$

Étape 1.2.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} + \frac{7 y}{1} = \frac{- 19}{2}$

Étape 1.2.1.2.2.4

Divisez $7 y$ par $1$ .

$y^{2} + 7 y = \frac{- 19}{2}$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} + 7 y = - \frac{19}{2}$

Étape 2

Pour créer un carré trinomial du côté gauche de l’équation, trouvez une valeur égale au carré de la moitié de $b$ .

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{7}{2})}^{2}$

Étape 3

Ajoutez le terme de chaque côté de l’équation.

$y^{2} + 7 y + {(\frac{7}{2})}^{2} = - \frac{19}{2} + {(\frac{7}{2})}^{2}$

Étape 4

Simplifiez l’équation.

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Étape 4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{7}{2}$ .

$y^{2} + 7 y + \frac{7^{2}}{2^{2}} = - \frac{19}{2} + {(\frac{7}{2})}^{2}$

Étape 4.1.1.2

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$y^{2} + 7 y + \frac{49}{2^{2}} = - \frac{19}{2} + {(\frac{7}{2})}^{2}$

Étape 4.1.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y^{2} + 7 y + \frac{49}{4} = - \frac{19}{2} + {(\frac{7}{2})}^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $- \frac{19}{2} + {(\frac{7}{2})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{7}{2}$ .

$y^{2} + 7 y + \frac{49}{4} = - \frac{19}{2} + \frac{7^{2}}{2^{2}}$

Étape 4.2.1.1.2

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$y^{2} + 7 y + \frac{49}{4} = - \frac{19}{2} + \frac{49}{2^{2}}$

Étape 4.2.1.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y^{2} + 7 y + \frac{49}{4} = - \frac{19}{2} + \frac{49}{4}$

Étape 4.2.1.2

Pour écrire $- \frac{19}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y^{2} + 7 y + \frac{49}{4} = - \frac{19}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{49}{4}$

Étape 4.2.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.2.1.3.1

Multipliez $\frac{19}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y^{2} + 7 y + \frac{49}{4} = - \frac{19 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{49}{4}$

Étape 4.2.1.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y^{2} + 7 y + \frac{49}{4} = - \frac{19 \cdot 2}{4} + \frac{49}{4}$

Étape 4.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y^{2} + 7 y + \frac{49}{4} = \frac{- 19 \cdot 2 + 49}{4}$

Étape 4.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1.5.1

Multipliez $- 19$ par $2$ .

$y^{2} + 7 y + \frac{49}{4} = \frac{- 38 + 49}{4}$

Étape 4.2.1.5.2

Additionnez $- 38$ et $49$ .

$y^{2} + 7 y + \frac{49}{4} = \frac{11}{4}$

Étape 5

Factorisez le carré trinomial parfait en ${(y + \frac{7}{2})}^{2}$ .

${(y + \frac{7}{2})}^{2} = \frac{11}{4}$

Étape 6

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y + \frac{7}{2} = \pm \sqrt{\frac{11}{4}}$

Étape 6.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{11}{4}}$ .

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Étape 6.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{11}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{4}}$ .

$y + \frac{7}{2} = \pm \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{4}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y + \frac{7}{2} = \pm \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 6.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y + \frac{7}{2} = \pm \frac{\sqrt{11}}{2}$

Étape 6.3

Soustrayez $\frac{7}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y = \pm \frac{\sqrt{11}}{2} - \frac{7}{2}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$y = \pm \frac{\sqrt{11}}{2} - \frac{7}{2}$

Forme décimale :

$y = - 1.84168760 \dots, - 5.15831239 \dots$