Algèbre Exemples

$y = x^{2} - 4 x + 3$

Étape 1

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1.1

Complétez le carré pour $x^{2} - 4 x + 3$ .

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Étape 1.1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 3$

Étape 1.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.3.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 1.1.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Étape 1.1.1.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 2}{1}$

Étape 1.1.1.3.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$d = - 2$

Étape 1.1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 3 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun à ${(- 4)}^{2}$ et $4$ .

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Étape 1.1.1.4.2.1.1.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$e = 3 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.4.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $- 1 (4)$ .

$e = 3 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.4.2.1.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = 3 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.4.2.1.1.4

Multipliez $4^{2}$ par $1$ .

$e = 3 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.4.2.1.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4^{2}$ .

$e = 3 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.4.2.1.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.4.2.1.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 1$ .

$e = 3 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Étape 1.1.1.4.2.1.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$e = 3 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.4.2.1.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$e = 3 - \frac{4}{1}$

Étape 1.1.1.4.2.1.1.6.4

Divisez $4$ par $1$ .

$e = 3 - 1 \cdot 4$

Étape 1.1.1.4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = 3 - 4$

Étape 1.1.1.4.2.2

Soustrayez $4$ de $3$ .

$e = - 1$

Étape 1.1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x - 2)}^{2} - 1$ .

${(x - 2)}^{2} - 1$

Étape 1.1.2

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = {(x - 2)}^{2} - 1$

Étape 1.2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = 1$

$h = 2$

$k = - 1$

Étape 1.3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers le haut.

ouvre vers le haut

Étape 1.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(2, - 1)$

Étape 1.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 1.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 1.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 1.5.3

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 1.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4}$

Étape 1.6

Déterminez le foyer.

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Étape 1.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 1.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(2, - \frac{3}{4})$

Étape 1.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = 2$

Étape 1.8

Déterminez la directrice.

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Étape 1.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 1.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = - \frac{5}{4}$

Étape 1.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(2, - 1)$

Foyer : $(2, - \frac{3}{4})$

Axe de symétrie : $x = 2$

Directrice : $y = - \frac{5}{4}$

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(2, - 1)$

Foyer : $(2, - \frac{3}{4})$

Axe de symétrie : $x = 2$

Directrice : $y = - \frac{5}{4}$

Étape 2

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 3$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 - 4 \cdot 1 + 3$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f (1) = 1 - 4 + 3$

Étape 2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.2.1

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f (1) = - 3 + 3$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$f (1) = 0$

Étape 2.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 2.3

La valeur $y$ sur $x = 1$ est $0$ .

$y = 0$

Étape 2.4

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 3$

Étape 2.5

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + 3$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 3$

Étape 2.5.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.5.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 3$

Étape 2.5.2.2

Additionnez $0$ et $3$ .

$f (0) = 3$

Étape 2.5.3

La réponse finale est $3$ .

$3$

Étape 2.6

La valeur $y$ sur $x = 0$ est $3$ .

$y = 3$

Étape 2.7

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = {(3)}^{2} - 4 \cdot 3 + 3$

Étape 2.8

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (3) = 9 - 4 \cdot 3 + 3$

Étape 2.8.1.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$f (3) = 9 - 12 + 3$

Étape 2.8.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.8.2.1

Soustrayez $12$ de $9$ .

$f (3) = - 3 + 3$

Étape 2.8.2.2

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$f (3) = 0$

Étape 2.8.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 2.9

La valeur $y$ sur $x = 3$ est $0$ .

$y = 0$

Étape 2.10

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = {(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 3$

Étape 2.11

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.11.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (4) = 16 - 4 \cdot 4 + 3$

Étape 2.11.1.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$f (4) = 16 - 16 + 3$

Étape 2.11.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.11.2.1

Soustrayez $16$ de $16$ .

$f (4) = 0 + 3$

Étape 2.11.2.2

Additionnez $0$ et $3$ .

$f (4) = 3$

Étape 2.11.3

La réponse finale est $3$ .

$3$

Étape 2.12

La valeur $y$ sur $x = 4$ est $3$ .

$y = 3$

Étape 2.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 3 \\ 1 & 0 \\ 2 & - 1 \\ 3 & 0 \\ 4 & 3 \end{array}$

Étape 3

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(2, - 1)$

Foyer : $(2, - \frac{3}{4})$

Axe de symétrie : $x = 2$

Directrice : $y = - \frac{5}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 3 \\ 1 & 0 \\ 2 & - 1 \\ 3 & 0 \\ 4 & 3 \end{array}$

Étape 4