Algèbre Exemples

$x^{6} - y^{6}$

Étape 1

Réécrivez

$x^{6}$ comme

${(x^{2})}^{3}$ .

${(x^{2})}^{3} - y^{6}$

Étape 2

Réécrivez

$y^{6}$ comme

${(y^{2})}^{3}$ .

${(x^{2})}^{3} - {(y^{2})}^{3}$

Étape 3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes,

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où

$a = x^{2}$ et

$b = y^{2}$ .

$(x^{2} - y^{2}) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} y^{2} + {(y^{2})}^{2})$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où

$a = x$ et

$b = y$ .

$(x + y) (x - y) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} y^{2} + {(y^{2})}^{2})$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans

${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x + y) (x - y) (x^{2 \cdot 2} + x^{2} y^{2} + {(y^{2})}^{2})$

Étape 4.2.2

Multipliez

$2$ par

$2$ .

$(x + y) (x - y) (x^{4} + x^{2} y^{2} + {(y^{2})}^{2})$

Étape 4.3

Multipliez les exposants dans

${(y^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x + y) (x - y) (x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{2 \cdot 2})$

Étape 4.3.2

Multipliez

$2$ par

$2$ .

$(x + y) (x - y) (x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{4})$

Étape 4.4

Factorisez.

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Étape 4.4.1

Réécrivez

$x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{4}$ en forme factorisée.

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Étape 4.4.1.1

Réécrivez le point milieu.

$(x + y) (x - y) (x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - x^{2} y^{2} + y^{4})$

Étape 4.4.1.2

Réorganisez les termes.

$(x + y) (x - y) (x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4} - x^{2} y^{2})$

Étape 4.4.1.3

Factorisez les trois premiers termes selon la règle du carré parfait.

$(x + y) (x - y) ({(x^{2} + y^{2})}^{2} - x^{2} y^{2})$

Étape 4.4.1.4

Réécrivez

$x^{2} y^{2}$ comme

${(x y)}^{2}$ .

$(x + y) (x - y) ({(x^{2} + y^{2})}^{2} - {(x y)}^{2})$

Étape 4.4.1.5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où

$a = x^{2} + y^{2}$ et

$b = x y$ .

$(x + y) (x - y) ((x^{2} + y^{2} + x y) (x^{2} + y^{2} - (x y)))$

Étape 4.4.1.6

Supprimez les parenthèses.

$(x + y) (x - y) ((x^{2} + y^{2} + x y) (x^{2} + y^{2} - x y))$

Étape 4.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2} + x y) (x^{2} + y^{2} - x y)$