Algèbre Exemples

$x^{4} - 81 = 0$

Étape 1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 81 = 0$

Étape 2

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 9^{2} = 0$

Étape 3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 9$ .

$(x^{2} + 9) (x^{2} - 9) = 0$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$(x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Étape 4.2

Factorisez.

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Étape 4.2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$(x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Étape 4.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 6

Définissez $x^{2} + 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x^{2} + 9$ égal à $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x^{2} + 9 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 9$

Étape 6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Étape 6.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Étape 6.2.3.1

Réécrivez $- 9$ comme $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Étape 6.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (9)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Étape 6.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Étape 6.2.3.4

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Étape 6.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 3$

Étape 6.2.3.6

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 3 i$

Étape 6.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3 i$

Étape 6.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3 i$

Étape 6.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3 i, - 3 i$

Étape 7

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 7.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 8

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 8.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 3 i, - 3 i, - 3, 3$