Algèbre Exemples

$x^{6} - 1$

Étape 1

Réécrivez $x^{6}$ comme ${(x^{2})}^{3}$ .

${(x^{2})}^{3} - 1$

Étape 2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

${(x^{2})}^{3} - 1^{3}$

Étape 3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x^{2}$ et $b = 1$ .

$(x^{2} - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2})$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(x^{2} - 1^{2}) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2})$

Étape 4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2})$

Étape 4.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$(x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})$

Étape 5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x + 1) (x - 1) (x^{2 \cdot 2} + x^{2} + 1^{2})$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$(x + 1) (x - 1) (x^{4} + x^{2} + 1^{2})$

Étape 6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(x + 1) (x - 1) (x^{4} + x^{2} + 1)$

Étape 7

Factorisez.

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Étape 7.1

Réécrivez $x^{4} + x^{2} + 1$ en forme factorisée.

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Étape 7.1.1

Réécrivez le point milieu.

$(x + 1) (x - 1) (x^{4} + 2 x^{2} \cdot 1 - x^{2} + 1)$

Étape 7.1.2

Réorganisez les termes.

$(x + 1) (x - 1) (x^{4} + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 - x^{2})$

Étape 7.1.3

Factorisez les trois premiers termes selon la règle du carré parfait.

$(x + 1) (x - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} - x^{2})$

Étape 7.1.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2} + 1$ et $b = x$ .

$(x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1 + x) (x^{2} + 1 - x))$

Étape 7.1.5

Simplifiez

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Étape 7.1.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x + 1) (x - 1) ((x^{2} + x + 1) (x^{2} + 1 - x))$

Étape 7.1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x + 1) (x - 1) ((x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1))$

Étape 7.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1)$