Algèbre Exemples

${(\sqrt{x} + \sqrt{5})}^{2}$

Étape 1

Réécrivez ${(\sqrt{x} + \sqrt{5})}^{2}$ comme $(\sqrt{x} + \sqrt{5}) (\sqrt{x} + \sqrt{5})$ .

$(\sqrt{x} + \sqrt{5}) (\sqrt{x} + \sqrt{5})$

Étape 2

Développez $(\sqrt{x} + \sqrt{5}) (\sqrt{x} + \sqrt{5})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{x} (\sqrt{x} + \sqrt{5}) + \sqrt{5} (\sqrt{x} + \sqrt{5})$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{5} + \sqrt{5} (\sqrt{x} + \sqrt{5})$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{x} + \sqrt{5} \sqrt{5}$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Étape 3.1.1.1

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

${\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{x} + \sqrt{5} \sqrt{5}$

Étape 3.1.1.2

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

${\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} + \sqrt{x} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{x} + \sqrt{5} \sqrt{5}$

Étape 3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\sqrt{x}}^{1 + 1} + \sqrt{x} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{x} + \sqrt{5} \sqrt{5}$

Étape 3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

${\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{x} + \sqrt{5} \sqrt{5}$

Étape 3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{x} + \sqrt{5} \sqrt{5}$

Étape 3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{x} + \sqrt{5} \sqrt{5}$

Étape 3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{x} + \sqrt{5} \sqrt{5}$

Étape 3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{x} + \sqrt{5} \sqrt{5}$

Étape 3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} + \sqrt{x} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{x} + \sqrt{5} \sqrt{5}$

Étape 3.1.2.5

Simplifiez

$x + \sqrt{x} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{x} + \sqrt{5} \sqrt{5}$

Étape 3.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x + \sqrt{x \cdot 5} + \sqrt{5} \sqrt{x} + \sqrt{5} \sqrt{5}$

Étape 3.1.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x + \sqrt{x \cdot 5} + \sqrt{5 x} + \sqrt{5} \sqrt{5}$

Étape 3.1.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x + \sqrt{x \cdot 5} + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 \cdot 5}$

Étape 3.1.6

Multipliez $5$ par $5$ .

$x + \sqrt{x \cdot 5} + \sqrt{5 x} + \sqrt{25}$

Étape 3.1.7

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x + \sqrt{x \cdot 5} + \sqrt{5 x} + \sqrt{5^{2}}$

Étape 3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x + \sqrt{x \cdot 5} + \sqrt{5 x} + 5$

Étape 3.2

Additionnez $\sqrt{x \cdot 5}$ et $\sqrt{5 x}$ .

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Étape 3.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $5$ .

$x + \sqrt{5 \cdot x} + \sqrt{5 x} + 5$

Étape 3.2.2

Additionnez $\sqrt{5 \cdot x}$ et $\sqrt{5 x}$ .

$x + 2 \sqrt{5 \cdot x} + 5$