Algèbre Exemples

$x^{3} - 27 = 0$

Étape 1

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$x^{3} - 3^{3} = 0$

Étape 2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$(x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2}) = 0$

Étape 3.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Étape 5

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 6

Définissez $x^{2} + 3 x + 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x^{2} + 3 x + 9$ égal à $0$ .

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x^{2} + 3 x + 9 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 3$ et $c = 9$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3

Simplifiez

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Étape 6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.3.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Étape 6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.3

Soustrayez $36$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.4

Réécrivez $- 27$ comme $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (27)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.7

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 6.2.3.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 6.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.4.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Étape 6.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.3

Soustrayez $36$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.4

Réécrivez $- 27$ comme $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (27)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.7

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 6.2.4.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.2.4.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 3 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 6.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (- 3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - 3 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 6.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 6.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.5.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Étape 6.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.3

Soustrayez $36$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.4

Réécrivez $- 27$ comme $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (27)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.7

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 6.2.5.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.2.5.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (3 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 6.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + 3 i \sqrt{3})}{2}$

Étape 6.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$ vraie.

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$