Algèbre Exemples

Find the equation of a line perpendicular to $4 x - 5 y = - 1$ that contains the point $(5, - 4)$

Étape 1

Écrivez le problème comme une expression mathématique.

$4 x - 5 y = - 1$ , $(5, - 4)$

Étape 2

Résolvez $4 x - 5 y = - 1$ .

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Étape 2.1

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$- 5 y = - 1 - 4 x$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $- 5 y = - 1 - 4 x$ par $- 5$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 5 y = - 1 - 4 x$ par $- 5$ .

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{- 1}{- 5} + \frac{- 4 x}{- 5}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 5$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{- 1}{- 5} + \frac{- 4 x}{- 5}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 1}{- 5} + \frac{- 4 x}{- 5}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = \frac{1}{5} + \frac{- 4 x}{- 5}$

Étape 2.2.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = \frac{1}{5} + \frac{4 x}{5}$

Étape 3

Déterminez la pente quand $y = \frac{1}{5} + \frac{4 x}{5}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez en forme affine.

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Étape 3.1.1

La forme affine est $y = m x + b$ , où $m$ est la pente et $b$ est l’ordonnée à l’origine.

$y = m x + b$

Étape 3.1.2

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{5}$ et $\frac{4 x}{5}$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{1}{5}$

Étape 3.1.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}$

Étape 3.2

En utilisant la forme affine, la pente est $\frac{4}{5}$ .

$m = \frac{4}{5}$

Étape 4

L’équation d’une droite perpendiculaire doit avoir une pente qui est la réciproque négative de la pente d’origine.

$m_{perpendiculaire} = - \frac{1}{\frac{4}{5}}$

Étape 5

Simplifiez $- \frac{1}{\frac{4}{5}}$ pour déterminer la pente de la droite perpendiculaire.

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Étape 5.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$m_{perpendiculaire} = - (1 (\frac{5}{4}))$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{5}{4}$ par $1$ .

$m_{perpendiculaire} = - \frac{5}{4}$

Étape 6

Déterminez l’équation de la droite perpendiculaire à l’aide de la formule point-pente.

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Étape 6.1

Utilisez la pente $- \frac{5}{4}$ et un point donné, tel que $(5, - 4)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 4) = - \frac{5}{4} \cdot (x - (5))$

Étape 6.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 4 = - \frac{5}{4} \cdot (x - 5)$

Étape 7

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 7.1

Résolvez $y$ .

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Étape 7.1.1

Simplifiez $- \frac{5}{4} \cdot (x - 5)$ .

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Étape 7.1.1.1

Réécrivez.

$y + 4 = 0 + 0 - \frac{5}{4} \cdot (x - 5)$

Étape 7.1.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y + 4 = - \frac{5}{4} \cdot (x - 5)$

Étape 7.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + 4 = - \frac{5}{4} x - \frac{5}{4} \cdot - 5$

Étape 7.1.1.4

Associez $x$ et $\frac{5}{4}$ .

$y + 4 = - \frac{x \cdot 5}{4} - \frac{5}{4} \cdot - 5$

Étape 7.1.1.5

Multipliez $- \frac{5}{4} \cdot - 5$ .

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Étape 7.1.1.5.1

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$y + 4 = - \frac{x \cdot 5}{4} + 5 (\frac{5}{4})$

Étape 7.1.1.5.2

Associez $5$ et $\frac{5}{4}$ .

$y + 4 = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{5 \cdot 5}{4}$

Étape 7.1.1.5.3

Multipliez $5$ par $5$ .

$y + 4 = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{25}{4}$

Étape 7.1.1.6

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$y + 4 = - \frac{5 x}{4} + \frac{25}{4}$

Étape 7.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.1.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{5 x}{4} + \frac{25}{4} - 4$

Étape 7.1.2.2

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{5 x}{4} + \frac{25}{4} - 4 \cdot \frac{4}{4}$

Étape 7.1.2.3

Associez $- 4$ et $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{5 x}{4} + \frac{25}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}$

Étape 7.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{5 x}{4} + \frac{25 - 4 \cdot 4}{4}$

Étape 7.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.2.5.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = - \frac{5 x}{4} + \frac{25 - 16}{4}$

Étape 7.1.2.5.2

Soustrayez $16$ de $25$ .

$y = - \frac{5 x}{4} + \frac{9}{4}$

Étape 7.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{5}{4} x) + \frac{9}{4}$

Étape 7.3

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{5}{4} x + \frac{9}{4}$

Étape 8