Algèbre Exemples

What is an equation of the line that passes through the point $(4, 1)$ and is perpendicular to the line $2 x - y = 4$ ?

Étape 1

Écrivez le problème comme une expression mathématique.

$(4, 1)$ , $2 x - y = 4$

Étape 2

Résolvez $2 x - y = 4$ .

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Étape 2.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$- y = 4 - 2 x$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $- y = 4 - 2 x$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $- y = 4 - 2 x$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{4}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{4}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1}$

Étape 2.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{4}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.3.1.1

Divisez $4$ par $- 1$ .

$y = - 4 + \frac{- 2 x}{- 1}$

Étape 2.2.3.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 2 x}{- 1}$ .

$y = - 4 - 1 \cdot (- 2 x)$

Étape 2.2.3.1.3

Réécrivez $- 1 \cdot (- 2 x)$ comme $- (- 2 x)$ .

$y = - 4 - (- 2 x)$

Étape 2.2.3.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y = - 4 + 2 x$

Étape 3

Déterminez la pente quand $y = - 4 + 2 x$ .

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Étape 3.1

Réécrivez en forme affine.

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Étape 3.1.1

La forme affine est $y = m x + b$ , où $m$ est la pente et $b$ est l’ordonnée à l’origine.

$y = m x + b$

Étape 3.1.2

Remettez dans l’ordre $- 4$ et $2 x$ .

$y = 2 x - 4$

Étape 3.2

En utilisant la forme affine, la pente est $2$ .

$m = 2$

Étape 4

L’équation d’une droite perpendiculaire doit avoir une pente qui est la réciproque négative de la pente d’origine.

$m_{perpendiculaire} = - \frac{1}{2}$

Étape 5

Déterminez l’équation de la droite perpendiculaire à l’aide de la formule point-pente.

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Étape 5.1

Utilisez la pente $- \frac{1}{2}$ et un point donné, tel que $(4, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (4))$

Étape 5.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 4)$

Étape 6

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 6.1

Résolvez $y$ .

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Étape 6.1.1

Simplifiez $- \frac{1}{2} \cdot (x - 4)$ .

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Étape 6.1.1.1

Réécrivez.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 4)$

Étape 6.1.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 4)$

Étape 6.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 4$

Étape 6.1.1.4

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 4$

Étape 6.1.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot - 4$

Étape 6.1.1.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 2))$

Étape 6.1.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 2)$

Étape 6.1.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$y - 1 = - \frac{x}{2} - 1 \cdot - 2$

Étape 6.1.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} + 2$

Étape 6.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{x}{2} + 2 + 1$

Étape 6.1.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$y = - \frac{x}{2} + 3$

Étape 6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{1}{2} x) + 3$

Étape 6.3

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{1}{2} x + 3$

Étape 7