Algèbre Exemples

$f (x) = 2 x^{5} + 11 x^{4} + 17 x^{3} + 21 x^{2} + 45 x$

Étape 1

Définissez $2 x^{5} + 11 x^{4} + 17 x^{3} + 21 x^{2} + 45 x$ égal à $0$ .

$2 x^{5} + 11 x^{4} + 17 x^{3} + 21 x^{2} + 45 x = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{5} + 11 x^{4} + 17 x^{3} + 21 x^{2} + 45 x$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{5}$ .

$x (2 x^{4}) + 11 x^{4} + 17 x^{3} + 21 x^{2} + 45 x = 0$

Étape 2.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $11 x^{4}$ .

$x (2 x^{4}) + x (11 x^{3}) + 17 x^{3} + 21 x^{2} + 45 x = 0$

Étape 2.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $17 x^{3}$ .

$x (2 x^{4}) + x (11 x^{3}) + x (17 x^{2}) + 21 x^{2} + 45 x = 0$

Étape 2.1.1.4

Factorisez $x$ à partir de $21 x^{2}$ .

$x (2 x^{4}) + x (11 x^{3}) + x (17 x^{2}) + x (21 x) + 45 x = 0$

Étape 2.1.1.5

Factorisez $x$ à partir de $45 x$ .

$x (2 x^{4}) + x (11 x^{3}) + x (17 x^{2}) + x (21 x) + x \cdot 45 = 0$

Étape 2.1.1.6

Factorisez $x$ à partir de $x (2 x^{4}) + x (11 x^{3})$ .

$x (2 x^{4} + 11 x^{3}) + x (17 x^{2}) + x (21 x) + x \cdot 45 = 0$

Étape 2.1.1.7

Factorisez $x$ à partir de $x (2 x^{4} + 11 x^{3}) + x (17 x^{2})$ .

$x (2 x^{4} + 11 x^{3} + 17 x^{2}) + x (21 x) + x \cdot 45 = 0$

Étape 2.1.1.8

Factorisez $x$ à partir de $x (2 x^{4} + 11 x^{3} + 17 x^{2}) + x (21 x)$ .

$x (2 x^{4} + 11 x^{3} + 17 x^{2} + 21 x) + x \cdot 45 = 0$

Étape 2.1.1.9

Factorisez $x$ à partir de $x (2 x^{4} + 11 x^{3} + 17 x^{2} + 21 x) + x \cdot 45$ .

$x (2 x^{4} + 11 x^{3} + 17 x^{2} + 21 x + 45) = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $2 x^{4} + 11 x^{3} + 17 x^{2} + 21 x + 45$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 45, \pm 3, \pm 15, \pm 5, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 2.1.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 45, \pm 22.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 15, \pm 7.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 9, \pm 4.5$

Étape 2.1.2.3

Remplacez $- 3$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 3$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.1.2.3.1

Remplacez $- 3$ dans le polynôme.

$2 {(- 3)}^{4} + 11 {(- 3)}^{3} + 17 {(- 3)}^{2} + 21 \cdot - 3 + 45$

Étape 2.1.2.3.2

Élevez $- 3$ à la puissance $4$ .

$2 \cdot 81 + 11 {(- 3)}^{3} + 17 {(- 3)}^{2} + 21 \cdot - 3 + 45$

Étape 2.1.2.3.3

Multipliez $2$ par $81$ .

$162 + 11 {(- 3)}^{3} + 17 {(- 3)}^{2} + 21 \cdot - 3 + 45$

Étape 2.1.2.3.4

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$162 + 11 \cdot - 27 + 17 {(- 3)}^{2} + 21 \cdot - 3 + 45$

Étape 2.1.2.3.5

Multipliez $11$ par $- 27$ .

$162 - 297 + 17 {(- 3)}^{2} + 21 \cdot - 3 + 45$

Étape 2.1.2.3.6

Soustrayez $297$ de $162$ .

$- 135 + 17 {(- 3)}^{2} + 21 \cdot - 3 + 45$

Étape 2.1.2.3.7

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$- 135 + 17 \cdot 9 + 21 \cdot - 3 + 45$

Étape 2.1.2.3.8

Multipliez $17$ par $9$ .

$- 135 + 153 + 21 \cdot - 3 + 45$

Étape 2.1.2.3.9

Additionnez $- 135$ et $153$ .

$18 + 21 \cdot - 3 + 45$

Étape 2.1.2.3.10

Multipliez $21$ par $- 3$ .

$18 - 63 + 45$

Étape 2.1.2.3.11

Soustrayez $63$ de $18$ .

$- 45 + 45$

Étape 2.1.2.3.12

Additionnez $- 45$ et $45$ .

$0$

Étape 2.1.2.4

Comme $- 3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{4} + 11 x^{3} + 17 x^{2} + 21 x + 45}{x + 3}$

Étape 2.1.2.5

Divisez $2 x^{4} + 11 x^{3} + 17 x^{2} + 21 x + 45$ par $x + 3$ .

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Étape 2.1.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

Étape 2.1.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$2 x^{3}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

Étape 2.1.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$2 x^{3}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

Étape 2.1.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{4} + 6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

Étape 2.1.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$2 x^{3}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

Étape 2.1.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$2 x^{3}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

Étape 2.1.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $5 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

Étape 2.1.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

Étape 2.1.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $5 x^{3} + 15 x^{2}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

Étape 2.1.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x^{2}$

Étape 2.1.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x^{2}$

$21 x$

Étape 2.1.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x^{2}$

$21 x$

Étape 2.1.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x^{2}$

$21 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

Étape 2.1.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{2} + 6 x$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x^{2}$

$21 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

Étape 2.1.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x^{2}$

$21 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

$15 x$

Étape 2.1.2.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x^{2}$

$21 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

$15 x$

$45$

Étape 2.1.2.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $15 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$15$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x^{2}$

$21 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

$15 x$

$45$

Étape 2.1.2.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$15$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x^{2}$

$21 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

$15 x$

$45$

$15 x$

$45$

Étape 2.1.2.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $15 x + 45$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$15$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x^{2}$

$21 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

$15 x$

$45$

$15 x$

$45$

Étape 2.1.2.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$15$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x^{2}$

$21 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

$15 x$

$45$

$15 x$

$45$

$0$

Étape 2.1.2.5.21

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 15$

Étape 2.1.2.6

Écrivez $2 x^{4} + 11 x^{3} + 17 x^{2} + 21 x + 45$ comme un ensemble de facteurs.

$x ((x + 3) (2 x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 15)) = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $2 x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 15$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1.3.1

Factorisez $2 x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 15$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1.3.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 2.1.3.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 15, \pm 7.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 5, \pm 2.5$

Étape 2.1.3.1.3

Remplacez $- 3$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 3$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.1.3.1.3.1

Remplacez $- 3$ dans le polynôme.

$2 {(- 3)}^{3} + 5 {(- 3)}^{2} + 2 \cdot - 3 + 15$

Étape 2.1.3.1.3.2

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot - 27 + 5 {(- 3)}^{2} + 2 \cdot - 3 + 15$

Étape 2.1.3.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 27$ .

$- 54 + 5 {(- 3)}^{2} + 2 \cdot - 3 + 15$

Étape 2.1.3.1.3.4

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$- 54 + 5 \cdot 9 + 2 \cdot - 3 + 15$

Étape 2.1.3.1.3.5

Multipliez $5$ par $9$ .

$- 54 + 45 + 2 \cdot - 3 + 15$

Étape 2.1.3.1.3.6

Additionnez $- 54$ et $45$ .

$- 9 + 2 \cdot - 3 + 15$

Étape 2.1.3.1.3.7

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$- 9 - 6 + 15$

Étape 2.1.3.1.3.8

Soustrayez $6$ de $- 9$ .

$- 15 + 15$

Étape 2.1.3.1.3.9

Additionnez $- 15$ et $15$ .

$0$

Étape 2.1.3.1.4

Comme $- 3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 15}{x + 3}$

Étape 2.1.3.1.5

Divisez $2 x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 15$ par $x + 3$ .

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Étape 2.1.3.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$3$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$15$

Étape 2.1.3.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$

Étape 2.1.3.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			+	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Étape 2.1.3.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} + 6 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Étape 2.1.3.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Étape 2.1.3.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$

Étape 2.1.3.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$

Étape 2.1.3.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$

Étape 2.1.3.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{2} - 3 x$

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$

Étape 2.1.3.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$5 x$

Étape 2.1.3.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$5 x$	+	$15$

Étape 2.1.3.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $5 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$x$	+	$5$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$5 x$	+	$15$

Étape 2.1.3.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$x$	+	$5$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$5 x$	+	$15$
							+	$5 x$	+	$15$

Étape 2.1.3.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $5 x + 15$

				$2 x^{2}$	-	$x$	+	$5$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$5 x$	+	$15$
							-	$5 x$	-	$15$

Étape 2.1.3.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$x$	+	$5$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$5 x$	+	$15$
							-	$5 x$	-	$15$
										$0$

Étape 2.1.3.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 x^{2} - x + 5$

Étape 2.1.3.1.6

Écrivez $2 x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 15$ comme un ensemble de facteurs.

$x ((x + 3) ((x + 3) (2 x^{2} - x + 5))) = 0$

Étape 2.1.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x ((x + 3) (x + 3) (2 x^{2} - x + 5)) = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez.

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Étape 2.1.4.1

Associez les facteurs similaires.

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Étape 2.1.4.1.1

Élevez $x + 3$ à la puissance $1$ .

$x ((x + 3) (x + 3) (2 x^{2} - x + 5)) = 0$

Étape 2.1.4.1.2

Élevez $x + 3$ à la puissance $1$ .

$x ((x + 3) (x + 3) (2 x^{2} - x + 5)) = 0$

Étape 2.1.4.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x ({(x + 3)}^{1 + 1} (2 x^{2} - x + 5)) = 0$

Étape 2.1.4.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$x ({(x + 3)}^{2} (2 x^{2} - x + 5)) = 0$

Étape 2.1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x {(x + 3)}^{2} (2 x^{2} - x + 5) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

$2 x^{2} - x + 5 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.4

Définissez ${(x + 3)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez ${(x + 3)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez ${(x + 3)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Définissez le $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.5

Définissez $2 x^{2} - x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $2 x^{2} - x + 5$ égal à $0$ .

$2 x^{2} - x + 5 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $2 x^{2} - x + 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = - 1$ et $c = 5$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 5)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez

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Étape 2.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.3.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 5$ .

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Étape 2.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $5$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 40}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.3.1.3

Soustrayez $40$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 39}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.3.1.4

Réécrivez $- 39$ comme $- 1 (39)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 39}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (39)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{39}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{39}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{39}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{39}}{4}$

Étape 2.5.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{1 + i \sqrt{39}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{39}}{4}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x {(x + 3)}^{2} (2 x^{2} - x + 5) = 0$ vraie.

$x = 0, - 3, \frac{1 + i \sqrt{39}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{39}}{4}$

Étape 3