Algèbre Exemples

$P (x) = x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 18 x - 72$

Étape 1

Définissez $x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 18 x - 72$ égal à $0$ .

$x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 18 x - 72 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Regroupez les termes.

$2 x^{3} + 18 x + x^{4} + x^{2} - 72 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3} + 18 x$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3}$ .

$2 x (x^{2}) + 18 x + x^{4} + x^{2} - 72 = 0$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $2 x$ à partir de $18 x$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (9) + x^{4} + x^{2} - 72 = 0$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{2}) + 2 x (9)$ .

$2 x (x^{2} + 9) + x^{4} + x^{2} - 72 = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 x (x^{2} + 9) + {(x^{2})}^{2} + x^{2} - 72 = 0$

Étape 2.1.4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$2 x (x^{2} + 9) + u^{2} + u - 72 = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez $u^{2} + u - 72$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 72$ et dont la somme est $1$ .

$- 8, 9$

Étape 2.1.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$2 x (x^{2} + 9) + (u - 8) (u + 9) = 0$

Étape 2.1.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$2 x (x^{2} + 9) + (x^{2} - 8) (x^{2} + 9) = 0$

Étape 2.1.7

Factorisez $x^{2} + 9$ à partir de $2 x (x^{2} + 9) + (x^{2} - 8) (x^{2} + 9)$ .

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Étape 2.1.7.1

Factorisez $x^{2} + 9$ à partir de $2 x (x^{2} + 9)$ .

$(x^{2} + 9) (2 x) + (x^{2} - 8) (x^{2} + 9) = 0$

Étape 2.1.7.2

Factorisez $x^{2} + 9$ à partir de $(x^{2} - 8) (x^{2} + 9)$ .

$(x^{2} + 9) (2 x) + (x^{2} + 9) (x^{2} - 8) = 0$

Étape 2.1.7.3

Factorisez $x^{2} + 9$ à partir de $(x^{2} + 9) (2 x) + (x^{2} + 9) (x^{2} - 8)$ .

$(x^{2} + 9) (2 x + x^{2} - 8) = 0$

Étape 2.1.8

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x^{2} + 9) (2 u + u^{2} - 8) = 0$

Étape 2.1.9

Factorisez $2 u + u^{2} - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.9.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $2$ .

$- 2, 4$

Étape 2.1.9.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x^{2} + 9) ((u - 2) (u + 4)) = 0$

Étape 2.1.10

Factorisez.

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Étape 2.1.10.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x^{2} + 9) ((x - 2) (x + 4)) = 0$

Étape 2.1.10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} + 9) (x - 2) (x + 4) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x^{2} + 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x^{2} + 9$ égal à $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $x^{2} + 9 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 9$

Étape 2.3.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Étape 2.3.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Étape 2.3.2.3.1

Réécrivez $- 9$ comme $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Étape 2.3.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (9)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Étape 2.3.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Étape 2.3.2.3.4

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Étape 2.3.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 3$

Étape 2.3.2.3.6

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 3 i$

Étape 2.3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3 i$

Étape 2.3.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3 i$

Étape 2.3.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3 i, - 3 i$

Étape 2.4

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.5

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} + 9) (x - 2) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 3 i, - 3 i, 2, - 4$

Étape 3