Algèbre Exemples

$0 = 35 x^{4} - x^{2} + 25$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $35 x^{4} - x^{2} + 25 = 0$ .

$35 x^{4} - x^{2} + 25 = 0$

Étape 2

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$35 u^{2} - u + 25 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4

Remplacez les valeurs $a = 35$ , $b = - 1$ et $c = 25$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (35 \cdot 25)}}{2 \cdot 35}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 35 \cdot 25}}{2 \cdot 35}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 35 \cdot 25$ .

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $35$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 140 \cdot 25}}{2 \cdot 35}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $- 140$ par $25$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 3500}}{2 \cdot 35}$

Étape 5.1.3

Soustrayez $3500$ de $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 3499}}{2 \cdot 35}$

Étape 5.1.4

Réécrivez $- 3499$ comme $- 1 (3499)$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3499}}{2 \cdot 35}$

Étape 5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3499)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3499}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3499}}{2 \cdot 35}$

Étape 5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{3499}}{2 \cdot 35}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $35$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{3499}}{70}$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{1 + i \sqrt{3499}}{70}, \frac{1 - i \sqrt{3499}}{70}$

Étape 7

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = \frac{1 + i \sqrt{3499}}{70}$

${(x^{2})}^{1} = \frac{1 - i \sqrt{3499}}{70}$

Étape 8

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = \frac{1 + i \sqrt{3499}}{70}$

Étape 9

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{3499}}{70}}$

Étape 9.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{3499}}{70}}$ .

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Étape 9.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1 + i \sqrt{3499}}{70}}$ comme $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}}}{\sqrt{70}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}}}{\sqrt{70}}$

Étape 9.2.2

Multipliez $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}}}{\sqrt{70}}$ par $\frac{\sqrt{70}}{\sqrt{70}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}}}{\sqrt{70}} \cdot \frac{\sqrt{70}}{\sqrt{70}}$

Étape 9.2.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}}}{\sqrt{70}}$ par $\frac{\sqrt{70}}{\sqrt{70}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{\sqrt{70} \sqrt{70}}$

Étape 9.2.3.2

Élevez $\sqrt{70}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{{\sqrt{70}}^{1} \sqrt{70}}$

Étape 9.2.3.3

Élevez $\sqrt{70}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{{\sqrt{70}}^{1} {\sqrt{70}}^{1}}$

Étape 9.2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{{\sqrt{70}}^{1 + 1}}$

Étape 9.2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{{\sqrt{70}}^{2}}$

Étape 9.2.3.6

Réécrivez ${\sqrt{70}}^{2}$ comme $70$ .

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Étape 9.2.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{70}$ comme $70^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{{(70^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.2.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{70^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.2.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{70^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.2.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{70^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.2.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{70^{1}}$

Étape 9.2.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{70}$

Étape 9.2.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{3499}) \cdot 70}}{70}$

Étape 9.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 9.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{3499}) \cdot 70}}{70}$

Étape 9.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{3499}) \cdot 70}}{70}$

Étape 9.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{3499}) \cdot 70}}{70}, - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{3499}) \cdot 70}}{70}$

Étape 10

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = \frac{1 - i \sqrt{3499}}{70}$

Étape 11

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = \frac{1 - i \sqrt{3499}}{70}$

Étape 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{3499}}{70}}$

Étape 11.3

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{3499}}{70}}$ .

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Étape 11.3.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1 - i \sqrt{3499}}{70}}$ comme $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3499}}}{\sqrt{70}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3499}}}{\sqrt{70}}$

Étape 11.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3499}}}{\sqrt{70}}$ par $\frac{\sqrt{70}}{\sqrt{70}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3499}}}{\sqrt{70}} \cdot \frac{\sqrt{70}}{\sqrt{70}}$

Étape 11.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.3.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3499}}}{\sqrt{70}}$ par $\frac{\sqrt{70}}{\sqrt{70}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{\sqrt{70} \sqrt{70}}$

Étape 11.3.3.2

Élevez $\sqrt{70}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{{\sqrt{70}}^{1} \sqrt{70}}$

Étape 11.3.3.3

Élevez $\sqrt{70}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{{\sqrt{70}}^{1} {\sqrt{70}}^{1}}$

Étape 11.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{{\sqrt{70}}^{1 + 1}}$

Étape 11.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{{\sqrt{70}}^{2}}$

Étape 11.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{70}}^{2}$ comme $70$ .

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Étape 11.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{70}$ comme $70^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{{(70^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 11.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{70^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 11.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{70^{\frac{2}{2}}}$

Étape 11.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{70^{\frac{2}{2}}}$

Étape 11.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{70^{1}}$

Étape 11.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{70}$

Étape 11.3.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{3499}) \cdot 70}}{70}$

Étape 11.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 11.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{3499}) \cdot 70}}{70}$

Étape 11.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{3499}) \cdot 70}}{70}$

Étape 11.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{3499}) \cdot 70}}{70}, - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{3499}) \cdot 70}}{70}$

Étape 12

La solution à $35 x^{4} - x^{2} + 25 = 0$ est $x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{3499}) \cdot 70}}{70}, - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{3499}) \cdot 70}}{70}, \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{3499}) \cdot 70}}{70}, - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{3499}) \cdot 70}}{70}$ .

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{3499}) \cdot 70}}{70}, - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{3499}) \cdot 70}}{70}, \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{3499}) \cdot 70}}{70}, - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{3499}) \cdot 70}}{70}$

Étape 13