Algèbre Exemples

$x^{8} - 26 x^{4} + 25 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Réécrivez $x^{8}$ comme ${(x^{4})}^{2}$ .

${(x^{4})}^{2} - 26 x^{4} + 25 = 0$

Étape 1.2

Laissez $u = x^{4}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{4}$ par $u$ .

$u^{2} - 26 u + 25 = 0$

Étape 1.3

Factorisez $u^{2} - 26 u + 25$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $25$ et dont la somme est $- 26$ .

$- 25, - 1$

Étape 1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 25) (u - 1) = 0$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4}$ .

$(x^{4} - 25) (x^{4} - 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{4} - 25 = 0$

$x^{4} - 1 = 0$

Étape 3

Définissez $x^{4} - 25$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $x^{4} - 25$ égal à $0$ .

$x^{4} - 25 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x^{4} - 25 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $25$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{4} = 25$

Étape 3.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[4]{25}$

Étape 3.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{25}$ .

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Étape 3.2.3.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{5^{2}}$

Étape 3.2.3.2

Réécrivez $\sqrt[4]{5^{2}}$ comme $\sqrt{\sqrt{5^{2}}}$ .

$x = \pm \sqrt{\sqrt{5^{2}}}$

Étape 3.2.3.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \sqrt{5}$

Étape 3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{5}$

Étape 3.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{5}$

Étape 3.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Étape 4

Définissez $x^{4} - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x^{4} - 1$ égal à $0$ .

$x^{4} - 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x^{4} - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{4} = 1$

Étape 4.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

Étape 4.2.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 4.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 4.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 4.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{4} - 25) (x^{4} - 1) = 0$ vraie.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}, 1, - 1$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}, 1, - 1$

Forme décimale :

$x = 2.23606797 \dots, - 2.23606797 \dots, 1, - 1$

Étape 7