Algèbre Exemples

$x^{7} - 63 x^{5} + 486 x^{3}$

Étape 1

Définissez $x^{7} - 63 x^{5} + 486 x^{3}$ égal à $0$ .

$x^{7} - 63 x^{5} + 486 x^{3} = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{7} - 63 x^{5} + 486 x^{3}$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{7}$ .

$x^{3} x^{4} - 63 x^{5} + 486 x^{3} = 0$

Étape 2.1.1.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- 63 x^{5}$ .

$x^{3} x^{4} + x^{3} (- 63 x^{2}) + 486 x^{3} = 0$

Étape 2.1.1.3

Factorisez $x^{3}$ à partir de $486 x^{3}$ .

$x^{3} x^{4} + x^{3} (- 63 x^{2}) + x^{3} \cdot 486 = 0$

Étape 2.1.1.4

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} x^{4} + x^{3} (- 63 x^{2})$ .

$x^{3} (x^{4} - 63 x^{2}) + x^{3} \cdot 486 = 0$

Étape 2.1.1.5

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} (x^{4} - 63 x^{2}) + x^{3} \cdot 486$ .

$x^{3} (x^{4} - 63 x^{2} + 486) = 0$

Étape 2.1.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x^{3} ({(x^{2})}^{2} - 63 x^{2} + 486) = 0$

Étape 2.1.3

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$x^{3} (u^{2} - 63 u + 486) = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez $u^{2} - 63 u + 486$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $486$ et dont la somme est $- 63$ .

$- 54, - 9$

Étape 2.1.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$x^{3} ((u - 54) (u - 9)) = 0$

Étape 2.1.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x^{3} ((x^{2} - 54) (x^{2} - 9)) = 0$

Étape 2.1.6

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x^{3} ((x^{2} - 54) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

Étape 2.1.7

Factorisez.

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Étape 2.1.7.1

Factorisez.

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Étape 2.1.7.1.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$x^{3} ((x^{2} - 54) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

Étape 2.1.7.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{3} ((x^{2} - 54) (x + 3) (x - 3)) = 0$

Étape 2.1.7.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{3} (x^{2} - 54) (x + 3) (x - 3) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{3} = 0$

$x^{2} - 54 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ .

$x^{3} = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $x^{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 2.3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 2.4

Définissez $x^{2} - 54$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x^{2} - 54$ égal à $0$ .

$x^{2} - 54 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{2} - 54 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Ajoutez $54$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 54$

Étape 2.4.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{54}$

Étape 2.4.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{54}$ .

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Étape 2.4.2.3.1

Réécrivez $54$ comme $3^{2} \cdot 6$ .

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Étape 2.4.2.3.1.1

Factorisez $9$ à partir de $54$ .

$x = \pm \sqrt{9 (6)}$

Étape 2.4.2.3.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 6}$

Étape 2.4.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm 3 \sqrt{6}$

Étape 2.4.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.4.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3 \sqrt{6}$

Étape 2.4.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3 \sqrt{6}$

Étape 2.4.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3 \sqrt{6}, - 3 \sqrt{6}$

Étape 2.5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.6

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.6.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{3} (x^{2} - 54) (x + 3) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, 3 \sqrt{6}, - 3 \sqrt{6}, - 3, 3$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = 0, 3 \sqrt{6}, - 3 \sqrt{6}, - 3, 3$

Forme décimale :

$x = 0, 7.34846922 \dots, - 7.34846922 \dots, - 3, 3$

Étape 4