Algèbre Exemples

$y = x^{4} - x^{3} + x^{2} + x - 2$

Étape 1

Définissez $x^{4} - x^{3} + x^{2} + x - 2$ égal à $0$ .

$x^{4} - x^{3} + x^{2} + x - 2 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Regroupez les termes.

$x^{4} - x^{3} + x^{2} + x - 2 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4} - x^{3}$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4}$ .

$x^{3} x - x^{3} + x^{2} + x - 2 = 0$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- x^{3}$ .

$x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 + x^{2} + x - 2 = 0$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} x + x^{3} \cdot - 1$ .

$x^{3} (x - 1) + x^{2} + x - 2 = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $x^{2} + x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $1$ .

$- 1, 2$

Étape 2.1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$x^{3} (x - 1) + (x - 1) (x + 2) = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez $x - 1$ à partir de $x^{3} (x - 1) + (x - 1) (x + 2)$ .

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Étape 2.1.4.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $x^{3} (x - 1)$ .

$(x - 1) x^{3} + (x - 1) (x + 2) = 0$

Étape 2.1.4.2

Factorisez $x - 1$ à partir de $(x - 1) x^{3} + (x - 1) (x + 2)$ .

$(x - 1) (x^{3} + x + 2) = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez.

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Étape 2.1.5.1

Factorisez $x^{3} + x + 2$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1.5.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Étape 2.1.5.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2$

Étape 2.1.5.1.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.1.5.1.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

${(- 1)}^{3} - 1 + 2$

Étape 2.1.5.1.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 1 - 1 + 2$

Étape 2.1.5.1.3.3

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$- 2 + 2$

Étape 2.1.5.1.3.4

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$0$

Étape 2.1.5.1.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} + x + 2}{x + 1}$

Étape 2.1.5.1.5

Divisez $x^{3} + x + 2$ par $x + 1$ .

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Étape 2.1.5.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

Étape 2.1.5.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$

Étape 2.1.5.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 2.1.5.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 2.1.5.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Étape 2.1.5.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Étape 2.1.5.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Étape 2.1.5.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Étape 2.1.5.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{2} - x$

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Étape 2.1.5.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$

Étape 2.1.5.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$2$

Étape 2.1.5.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$2$

Étape 2.1.5.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Étape 2.1.5.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x + 2$

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Étape 2.1.5.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$
										$0$

Étape 2.1.5.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - x + 2$

Étape 2.1.5.1.6

Écrivez $x^{3} + x + 2$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 1) ((x + 1) (x^{2} - x + 2)) = 0$

Étape 2.1.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 1) (x + 1) (x^{2} - x + 2) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 2 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.4

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.5

Définissez $x^{2} - x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x^{2} - x + 2$ égal à $0$ .

$x^{2} - x + 2 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $x^{2} - x + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 1$ et $c = 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez

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Étape 2.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.3.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 2.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.3

Soustrayez $8$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.4

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (7)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Étape 2.5.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (x + 1) (x^{2} - x + 2) = 0$ vraie.

$x = 1, - 1, \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

Étape 3