Algèbre Exemples

$3 \cos (x + \frac{π}{6})$

Étape 1

Définissez $3 \cos (x + \frac{π}{6})$ égal à $0$ .

$3 \cos (x + \frac{π}{6}) = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $3 \cos (x + \frac{π}{6}) = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.1.1

Divisez chaque terme dans $3 \cos (x + \frac{π}{6}) = 0$ par $3$ .

$\frac{3 \cos (x + \frac{π}{6})}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cos (x + \frac{π}{6})}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 2.1.2.1.2

Divisez $\cos (x + \frac{π}{6})$ par $1$ .

$\cos (x + \frac{π}{6}) = \frac{0}{3}$

Étape 2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$\cos (x + \frac{π}{6}) = 0$

Étape 2.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x + \frac{π}{6} = \arccos (0)$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x + \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$

Étape 2.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.4.1

Soustrayez $\frac{π}{6}$ des deux côtés de l’équation.

$x = \frac{π}{2} - \frac{π}{6}$

Étape 2.4.2

Pour écrire $\frac{π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6}$

Étape 2.4.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.3.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{6}$

Étape 2.4.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 2.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{6}$

Étape 2.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.5.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{6}$

Étape 2.4.5.2

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{6}$

Étape 2.4.6

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 2.4.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$x = \frac{2 (π)}{6}$

Étape 2.4.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Étape 2.4.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Étape 2.4.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{π}{3}$

Étape 2.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x + \frac{π}{6} = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 2.6

Résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 2.6.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{6} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.6.1.2

Associez les fractions.

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Étape 2.6.1.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.6.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x + \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 2.6.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x + \frac{π}{6} = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 2.6.1.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x + \frac{π}{6} = \frac{3 π}{2}$

Étape 2.6.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.6.2.1

Soustrayez $\frac{π}{6}$ des deux côtés de l’équation.

$x = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{6}$

Étape 2.6.2.2

Pour écrire $\frac{3 π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6}$

Étape 2.6.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.6.2.3.1

Multipliez $\frac{3 π}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{3 π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{6}$

Étape 2.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{3 π \cdot 3}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 2.6.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{3 π \cdot 3 - π}{6}$

Étape 2.6.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.2.5.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$x = \frac{9 π - π}{6}$

Étape 2.6.2.5.2

Soustrayez $π$ de $9 π$ .

$x = \frac{8 π}{6}$

Étape 2.6.2.6

Annulez le facteur commun à $8$ et $6$ .

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Étape 2.6.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $8 π$ .

$x = \frac{2 (4 π)}{6}$

Étape 2.6.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.2.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$x = \frac{2 (4 π)}{2 (3)}$

Étape 2.6.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 (4 π)}{2 \cdot 3}$

Étape 2.6.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{4 π}{3}$

Étape 2.7

Déterminez la période de $\cos (x + \frac{π}{6})$ .

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Étape 2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.8

La période de la fonction $\cos (x + \frac{π}{6})$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.9

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3