Algèbre Exemples

$y = 4 x^{4} - 11 x^{2} - 3$

Étape 1

Définissez $4 x^{4} - 11 x^{2} - 3$ égal à $0$ .

$4 x^{4} - 11 x^{2} - 3 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$4 u^{2} - 11 u - 3 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 2.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ et dont la somme est $b = - 11$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $- 11$ à partir de $- 11 u$ .

$4 u^{2} - 11 u - 3 = 0$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez $- 11$ comme $1$ plus $- 12$

$4 u^{2} + (1 - 12) u - 3 = 0$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 u^{2} + 1 u - 12 u - 3 = 0$

Étape 2.2.1.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$4 u^{2} + u - 12 u - 3 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(4 u^{2} + u) - 12 u - 3 = 0$

Étape 2.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (4 u + 1) - 3 (4 u + 1) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 u + 1$ .

$(4 u + 1) (u - 3) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 u + 1 = 0$

$u - 3 = 0$

Étape 2.4

Définissez $4 u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $4 u + 1$ égal à $0$ .

$4 u + 1 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $4 u + 1 = 0$ pour $u$ .

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Étape 2.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$4 u = - 1$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $4 u = - 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 u = - 1$ par $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 1}{4}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 1}{4}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{- 1}{4}$

Étape 2.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{1}{4}$

Étape 2.5

Définissez $u - 3$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $u - 3$ égal à $0$ .

$u - 3 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 3$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(4 u + 1) (u - 3) = 0$ vraie.

$u = - \frac{1}{4}, 3$

Étape 2.7

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = - \frac{1}{4}$

${(x^{2})}^{1} = 3$

Étape 2.8

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = - \frac{1}{4}$

Étape 2.9

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.9.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{4}}$

Étape 2.9.2

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{1}{4}}$ .

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Étape 2.9.2.1

Réécrivez $- \frac{1}{4}$ comme ${(\frac{i}{2})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2}}$

Étape 2.9.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{i}{2}$

Étape 2.9.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.9.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{i}{2}$

Étape 2.9.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{i}{2}$

Étape 2.9.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{i}{2}, - \frac{i}{2}$

Étape 2.10

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 3$

Étape 2.11

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.11.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = 3$

Étape 2.11.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{3}$

Étape 2.11.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.11.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{3}$

Étape 2.11.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{3}$

Étape 2.11.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 2.12

La solution à $4 x^{4} - 11 x^{2} - 3 = 0$ est $x = \frac{i}{2}, - \frac{i}{2}, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$ .

$x = \frac{i}{2}, - \frac{i}{2}, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 3