Algèbre Exemples

$x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6$

Étape 1

Définissez $x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6$ égal à $0$ .

$x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Regroupez les termes.

$x^{3} + x + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} + x$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} + x + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Étape 2.1.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x \cdot x^{2} + x + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Étape 2.1.2.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ .

$x (x^{2} + 1) + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Étape 2.1.4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$x (x^{2} + 1) + u^{2} - 5 u - 6 = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez $u^{2} - 5 u - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 6, 1$

Étape 2.1.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$x (x^{2} + 1) + (u - 6) (u + 1) = 0$

Étape 2.1.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x (x^{2} + 1) + (x^{2} - 6) (x^{2} + 1) = 0$

Étape 2.1.7

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $x (x^{2} + 1) + (x^{2} - 6) (x^{2} + 1)$ .

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Étape 2.1.7.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $x (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) x + (x^{2} - 6) (x^{2} + 1) = 0$

Étape 2.1.7.2

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $(x^{2} - 6) (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) x + (x^{2} + 1) (x^{2} - 6) = 0$

Étape 2.1.7.3

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $(x^{2} + 1) x + (x^{2} + 1) (x^{2} - 6)$ .

$(x^{2} + 1) (x + x^{2} - 6) = 0$

Étape 2.1.8

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x^{2} + 1) (u + u^{2} - 6) = 0$

Étape 2.1.9

Factorisez $u + u^{2} - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.9.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $1$ .

$- 2, 3$

Étape 2.1.9.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x^{2} + 1) ((u - 2) (u + 3)) = 0$

Étape 2.1.10

Factorisez.

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Étape 2.1.10.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x^{2} + 1) ((x - 2) (x + 3)) = 0$

Étape 2.1.10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} + 1) (x - 2) (x + 3) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x^{2} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x^{2} + 1$ égal à $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $x^{2} + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 1$

Étape 2.3.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 2.3.2.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i$

Étape 2.3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i$

Étape 2.3.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i$

Étape 2.3.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i, - i$

Étape 2.4

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} + 1) (x - 2) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = i, - i, 2, - 3$

Étape 3