Algèbre Exemples

$2 x^{4} - 9 x^{2} + 4 = 0$

Étape 1

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$2 u^{2} - 9 u + 4 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 4 = 8$ et dont la somme est $b = - 9$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $- 9$ à partir de $- 9 u$ .

$2 u^{2} - 9 u + 4 = 0$

Étape 2.1.2

Réécrivez $- 9$ comme $- 1$ plus $- 8$

$2 u^{2} + (- 1 - 8) u + 4 = 0$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 u^{2} - 1 u - 8 u + 4 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 u^{2} - 1 u) - 8 u + 4 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (2 u - 1) - 4 (2 u - 1) = 0$

Étape 2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u - 4) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u - 4 = 0$

Étape 4

Définissez $2 u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 4.1

Définissez $2 u - 1$ égal à $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $2 u - 1 = 0$ pour $u$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 u = 1$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 u = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 u = 1$ par $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Étape 5

Définissez $u - 4$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 5.1

Définissez $u - 4$ égal à $0$ .

$u - 4 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 4$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 u - 1) (u - 4) = 0$ vraie.

$u = \frac{1}{2}, 4$

Étape 7

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = \frac{1}{2}$

${(x^{2})}^{1} = 4$

Étape 8

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Étape 9

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 9.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 9.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 9.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 9.2.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 9.2.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 9.2.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 9.2.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 9.2.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 9.2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 9.2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 9.2.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 9.2.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.2.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.2.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.2.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.2.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 9.2.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 9.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 9.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 9.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 9.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 10

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 4$

Étape 11

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = 4$

Étape 11.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 11.3

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 11.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 11.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 11.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 11.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 11.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 11.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 12

La solution à $2 x^{4} - 9 x^{2} + 4 = 0$ est $x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}, 2, - 2$ .

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}, 2, - 2$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}, 2, - 2$

Forme décimale :

$x = 0.70710678 \dots, - 0.70710678 \dots, 2, - 2$

Étape 14