Algèbre Exemples

$\sqrt{2 x} - \sqrt{36 - 2 x} = 6$

Étape 1

Résolvez $\sqrt{2 x}$ .

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $36 - 2 x$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $36$ .

$\sqrt{2 x} - \sqrt{2 (18) - 2 x} = 6$

Étape 1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\sqrt{2 x} - \sqrt{2 (18) + 2 (- x)} = 6$

Étape 1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (18) + 2 (- x)$ .

$\sqrt{2 x} - \sqrt{2 (18 - x)} = 6$

Étape 1.2

Ajoutez $\sqrt{2 (18 - x)}$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{2 x} = 6 + \sqrt{2 (18 - x)}$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{2 x}}^{2} = {(6 + \sqrt{2 (18 - x)})}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x}$ comme ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(6 + \sqrt{2 (18 - x)})}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(6 + \sqrt{2 (18 - x)})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(6 + \sqrt{2 (18 - x)})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 x)}^{1} = {(6 + \sqrt{2 (18 - x)})}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$2 x = {(6 + \sqrt{2 (18 - x)})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(6 + \sqrt{2 (18 - x)})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(6 + \sqrt{2 (18 - x)})}^{2}$ comme $(6 + \sqrt{2 (18 - x)}) (6 + \sqrt{2 (18 - x)})$ .

$2 x = (6 + \sqrt{2 (18 - x)}) (6 + \sqrt{2 (18 - x)})$

Étape 3.3.1.2

Développez $(6 + \sqrt{2 (18 - x)}) (6 + \sqrt{2 (18 - x)})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x = 6 (6 + \sqrt{2 (18 - x)}) + \sqrt{2 (18 - x)} (6 + \sqrt{2 (18 - x)})$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x = 6 \cdot 6 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + \sqrt{2 (18 - x)} (6 + \sqrt{2 (18 - x)})$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x = 6 \cdot 6 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + \sqrt{2 (18 - x)} \cdot 6 + \sqrt{2 (18 - x)} \sqrt{2 (18 - x)}$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + \sqrt{2 (18 - x)} \cdot 6 + \sqrt{2 (18 - x)} \sqrt{2 (18 - x)}$

Étape 3.3.1.3.1.2

Déplacez $6$ à gauche de $\sqrt{2 (18 - x)}$ .

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \cdot \sqrt{2 (18 - x)} + \sqrt{2 (18 - x)} \sqrt{2 (18 - x)}$

Étape 3.3.1.3.1.3

Multipliez $\sqrt{2 (18 - x)} \sqrt{2 (18 - x)}$ .

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Étape 3.3.1.3.1.3.1

Élevez $\sqrt{2 (18 - x)}$ à la puissance $1$ .

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + {\sqrt{2 (18 - x)}}^{1} \sqrt{2 (18 - x)}$

Étape 3.3.1.3.1.3.2

Élevez $\sqrt{2 (18 - x)}$ à la puissance $1$ .

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + {\sqrt{2 (18 - x)}}^{1} {\sqrt{2 (18 - x)}}^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + {\sqrt{2 (18 - x)}}^{1 + 1}$

Étape 3.3.1.3.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + {\sqrt{2 (18 - x)}}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.4

Réécrivez ${\sqrt{2 (18 - x)}}^{2}$ comme $2 (18 - x)$ .

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Étape 3.3.1.3.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 (18 - x)}$ comme ${(2 (18 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + {({(2 (18 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + {(2 (18 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 3.3.1.3.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + {(2 (18 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.3.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + {(2 (18 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + {(2 (18 - x))}^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.4.5

Simplifiez

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 2 (18 - x)$

Étape 3.3.1.3.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 2 \cdot 18 + 2 (- x)$

Étape 3.3.1.3.1.6

Multipliez $2$ par $18$ .

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 36 + 2 (- x)$

Étape 3.3.1.3.1.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 36 - 2 x$

Étape 3.3.1.3.2

Additionnez $36$ et $36$ .

$2 x = 72 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} - 2 x$

Étape 3.3.1.3.3

Additionnez $6 \sqrt{2 (18 - x)}$ et $6 \sqrt{2 (18 - x)}$ .

$2 x = 72 + 12 \sqrt{2 (18 - x)} - 2 x$

Étape 4

Résolvez $12 \sqrt{2 (18 - x)}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $72 + 12 \sqrt{2 (18 - x)} - 2 x = 2 x$ .

$72 + 12 \sqrt{2 (18 - x)} - 2 x = 2 x$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $12 \sqrt{2 (18 - x)}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $72$ des deux côtés de l’équation.

$12 \sqrt{2 (18 - x)} - 2 x = 2 x - 72$

Étape 4.2.2

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’équation.

$12 \sqrt{2 (18 - x)} = 2 x - 72 + 2 x$

Étape 4.2.3

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$12 \sqrt{2 (18 - x)} = 4 x - 72$

Étape 5

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(12 \sqrt{2 (18 - x)})}^{2} = {(4 x - 72)}^{2}$

Étape 6

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 (18 - x)}$ comme ${(2 (18 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(12 {(2 (18 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x - 72)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Simplifiez ${(12 {(2 (18 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

${(12 {(2 \cdot 18 + 2 (- x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x - 72)}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.1.2.1

Multipliez $2$ par $18$ .

${(12 {(36 + 2 (- x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x - 72)}^{2}$

Étape 6.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

${(12 {(36 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x - 72)}^{2}$

Étape 6.2.1.2.3

Appliquez la règle de produit à $12 {(36 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$12^{2} {({(36 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x - 72)}^{2}$

Étape 6.2.1.2.4

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$144 {({(36 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x - 72)}^{2}$

Étape 6.2.1.2.5

Multipliez les exposants dans ${({(36 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$144 {(36 - 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x - 72)}^{2}$

Étape 6.2.1.2.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$144 {(36 - 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x - 72)}^{2}$

Étape 6.2.1.2.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$144 {(36 - 2 x)}^{1} = {(4 x - 72)}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Simplifiez

$144 (36 - 2 x) = {(4 x - 72)}^{2}$

Étape 6.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$144 \cdot 36 + 144 (- 2 x) = {(4 x - 72)}^{2}$

Étape 6.2.1.5

Multipliez.

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Étape 6.2.1.5.1

Multipliez $144$ par $36$ .

$5184 + 144 (- 2 x) = {(4 x - 72)}^{2}$

Étape 6.2.1.5.2

Multipliez $- 2$ par $144$ .

$5184 - 288 x = {(4 x - 72)}^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez ${(4 x - 72)}^{2}$ .

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Étape 6.3.1.1

Réécrivez ${(4 x - 72)}^{2}$ comme $(4 x - 72) (4 x - 72)$ .

$5184 - 288 x = (4 x - 72) (4 x - 72)$

Étape 6.3.1.2

Développez $(4 x - 72) (4 x - 72)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$5184 - 288 x = 4 x (4 x - 72) - 72 (4 x - 72)$

Étape 6.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$5184 - 288 x = 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 72 - 72 (4 x - 72)$

Étape 6.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$5184 - 288 x = 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 72 - 72 (4 x) - 72 \cdot - 72$

Étape 6.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5184 - 288 x = 4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 72 - 72 (4 x) - 72 \cdot - 72$

Étape 6.3.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$5184 - 288 x = 4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 72 - 72 (4 x) - 72 \cdot - 72$

Étape 6.3.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$5184 - 288 x = 4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot - 72 - 72 (4 x) - 72 \cdot - 72$

Étape 6.3.1.3.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$5184 - 288 x = 16 x^{2} + 4 x \cdot - 72 - 72 (4 x) - 72 \cdot - 72$

Étape 6.3.1.3.1.4

Multipliez $- 72$ par $4$ .

$5184 - 288 x = 16 x^{2} - 288 x - 72 (4 x) - 72 \cdot - 72$

Étape 6.3.1.3.1.5

Multipliez $4$ par $- 72$ .

$5184 - 288 x = 16 x^{2} - 288 x - 288 x - 72 \cdot - 72$

Étape 6.3.1.3.1.6

Multipliez $- 72$ par $- 72$ .

$5184 - 288 x = 16 x^{2} - 288 x - 288 x + 5184$

Étape 6.3.1.3.2

Soustrayez $288 x$ de $- 288 x$ .

$5184 - 288 x = 16 x^{2} - 576 x + 5184$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$16 x^{2} - 576 x + 5184 = 5184 - 288 x$

Étape 7.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 7.2.1

Ajoutez $288 x$ aux deux côtés de l’équation.

$16 x^{2} - 576 x + 5184 + 288 x = 5184$

Étape 7.2.2

Additionnez $- 576 x$ et $288 x$ .

$16 x^{2} - 288 x + 5184 = 5184$

Étape 7.3

Soustrayez $5184$ des deux côtés de l’équation.

$16 x^{2} - 288 x + 5184 - 5184 = 0$

Étape 7.4

Associez les termes opposés dans $16 x^{2} - 288 x + 5184 - 5184$ .

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Étape 7.4.1

Soustrayez $5184$ de $5184$ .

$16 x^{2} - 288 x + 0 = 0$

Étape 7.4.2

Additionnez $16 x^{2} - 288 x$ et $0$ .

$16 x^{2} - 288 x = 0$

Étape 7.5

Factorisez $16 x$ à partir de $16 x^{2} - 288 x$ .

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Étape 7.5.1

Factorisez $16 x$ à partir de $16 x^{2}$ .

$16 x (x) - 288 x = 0$

Étape 7.5.2

Factorisez $16 x$ à partir de $- 288 x$ .

$16 x (x) + 16 x (- 18) = 0$

Étape 7.5.3

Factorisez $16 x$ à partir de $16 x (x) + 16 x (- 18)$ .

$16 x (x - 18) = 0$

Étape 7.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 18 = 0$

Étape 7.7

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 7.8

Définissez $x - 18$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.8.1

Définissez $x - 18$ égal à $0$ .

$x - 18 = 0$

Étape 7.8.2

Ajoutez $18$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 18$

Étape 7.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $16 x (x - 18) = 0$ vraie.

$x = 0, 18$

Étape 8

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sqrt{2 x} - \sqrt{36 - 2 x} = 6$ vrai.

$x = 18$

Étape 9