Algèbre Exemples

$F (X) = x^{4} - 3 x^{3} - 11 x^{2} + 3 x + 10$

Étape 1

Définissez $x^{4} - 3 x^{3} - 11 x^{2} + 3 x + 10$ égal à $0$ .

$x^{4} - 3 x^{3} - 11 x^{2} + 3 x + 10 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Regroupez les termes.

$- 3 x^{3} + 3 x + x^{4} - 11 x^{2} + 10 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $- 3 x$ à partir de $- 3 x^{3} + 3 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Factorisez $- 3 x$ à partir de $- 3 x^{3}$ .

$- 3 x \cdot x^{2} + 3 x + x^{4} - 11 x^{2} + 10 = 0$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $- 3 x$ à partir de $3 x$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 1 + x^{4} - 11 x^{2} + 10 = 0$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $- 3 x$ à partir de $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 1)$ .

$- 3 x (x^{2} - 1) + x^{4} - 11 x^{2} + 10 = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} - 11 x^{2} + 10 = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$- 3 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} - 11 x^{2} + 10 = 0$

Étape 2.1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} - 11 x^{2} + 10 = 0$

Étape 2.1.5

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} - 11 x^{2} + 10 = 0$

Étape 2.1.6

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} - 11 u + 10 = 0$

Étape 2.1.7

Factorisez $u^{2} - 11 u + 10$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.7.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $10$ et dont la somme est $- 11$ .

$- 10, - 1$

Étape 2.1.7.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (u - 10) (u - 1) = 0$

Étape 2.1.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 10) (x^{2} - 1) = 0$

Étape 2.1.9

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 10) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Étape 2.1.10

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.10.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 10) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 2.1.10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 10) (x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 2.1.11

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 10) (x + 1) (x - 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.11.1

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $- 3 x (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x^{2} - 10) (x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 2.1.11.2

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $(x^{2} - 10) (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 10) = 0$

Étape 2.1.11.3

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 10)$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x^{2} - 10) = 0$

Étape 2.1.12

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 u + u^{2} - 10) = 0$

Étape 2.1.13

Factorisez $- 3 u + u^{2} - 10$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.13.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 10$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 5, 2$

Étape 2.1.13.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 1) (x - 1) ((u - 5) (u + 2)) = 0$

Étape 2.1.14

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.14.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x + 1) (x - 1) ((x - 5) (x + 2)) = 0$

Étape 2.1.14.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 1) (x - 1) (x - 5) (x + 2) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.5

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 2.6

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.6.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x - 1) (x - 5) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = - 1, 1, 5, - 2$

Étape 3