Algèbre Exemples

$- 2 \cos (\frac{5}{4} x)$

Étape 1

Définissez $- 2 \cos (\frac{5}{4} x)$ égal à $0$ .

$- 2 \cos (\frac{5}{4} x) = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \cos (\frac{5}{4} x) = 0$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 2.1.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \cos (\frac{5}{4} x) = 0$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (\frac{5}{4} x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \cos (\frac{5}{4} x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Étape 2.1.2.1.2

Divisez $\cos (\frac{5}{4} x)$ par $1$ .

$\cos (\frac{5}{4} x) = \frac{0}{- 2}$

Étape 2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.3.1

Divisez $0$ par $- 2$ .

$\cos (\frac{5}{4} x) = 0$

Étape 2.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$\frac{5}{4} x = \arccos (0)$

Étape 2.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1

Associez $\frac{5}{4}$ et $x$ .

$\frac{5 x}{4} = \arccos (0)$

Étape 2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$\frac{5 x}{4} = \frac{π}{2}$

Étape 2.5

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{4}{5}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x}{4} = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 2.6

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.6.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1.1

Simplifiez $\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.6.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x}{4} = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 2.6.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 2.6.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.6.1.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$\frac{1}{5} (5 (x)) = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 2.6.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 2.6.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 2.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.2.1

Simplifiez $\frac{4}{5} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Étape 2.6.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{5} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 2.6.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \cdot 2}{5} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 2.6.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{2}{5} π$

Étape 2.6.2.1.2

Associez $\frac{2}{5}$ et $π$ .

$x = \frac{2 π}{5}$

Étape 2.7

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$\frac{5 x}{4} = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 2.8

Résolvez $x$ .

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Étape 2.8.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{4}{5}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x}{4} = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 2.8.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.8.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.8.2.1.1

Simplifiez $\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x}{4}$ .

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Étape 2.8.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.8.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x}{4} = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 2.8.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 2.8.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.8.2.1.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$\frac{1}{5} (5 (x)) = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 2.8.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 2.8.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 2.8.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.8.2.2.1

Simplifiez $\frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{2})$ .

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Étape 2.8.2.2.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{4}{5} (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 2.8.2.2.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{4}{5} (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 2.8.2.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{4}{5} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 2.8.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.8.2.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{5} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 2.8.2.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \cdot 2}{5} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 2.8.2.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{2}{5} (2 π \cdot 2 - π)$

Étape 2.8.2.2.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{2}{5} (4 π - π)$

Étape 2.8.2.2.1.6

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{2}{5} (3 π)$

Étape 2.8.2.2.1.7

Multipliez $\frac{2}{5} (3 π)$ .

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Étape 2.8.2.2.1.7.1

Associez $3$ et $\frac{2}{5}$ .

$x = \frac{3 \cdot 2}{5} π$

Étape 2.8.2.2.1.7.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6}{5} π$

Étape 2.8.2.2.1.7.3

Associez $\frac{6}{5}$ et $π$ .

$x = \frac{6 π}{5}$

Étape 2.9

Déterminez la période de $\cos (\frac{5}{4} x)$ .

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Étape 2.9.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.9.2

Remplacez $b$ par $\frac{5}{4}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{5}{4} |}$

Étape 2.9.3

$\frac{5}{4}$ est d’environ $1.25$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{5}{4}}$

Étape 2.9.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \frac{4}{5}$

Étape 2.9.5

Multipliez $2 π \frac{4}{5}$ .

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Étape 2.9.5.1

Associez $\frac{4}{5}$ et $2$ .

$\frac{4 \cdot 2}{5} π$

Étape 2.9.5.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8}{5} π$

Étape 2.9.5.3

Associez $\frac{8}{5}$ et $π$ .

$\frac{8 π}{5}$

Étape 2.10

La période de la fonction $\cos (\frac{5}{4} x)$ est $\frac{8 π}{5}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{8 π}{5}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{2 π}{5} + \frac{8 π n}{5}, \frac{6 π}{5} + \frac{8 π n}{5}$ , pour tout entier $n$

Étape 2.11

Consolidez les réponses.

$x = \frac{2 π}{5} + \frac{4 π n}{5}$ , pour tout entier $n$

Étape 3