Algèbre Exemples

$5^{x} - 5^{5 - x} = 150$

Étape 1

Réécrivez $5^{5 - x}$ comme $5^{5} \cdot 5^{- x}$ .

$5^{x} - (5^{5} \cdot 5^{- x}) = 150$

Étape 2

Réécrivez $5^{- x}$ comme une élévation à une puissance.

$5^{x} - (5^{5} \cdot {(5^{x})}^{- 1}) = 150$

Étape 3

Supprimez les parenthèses.

$5^{x} - 5^{5} {(5^{x})}^{- 1} = 150$

Étape 4

Remplacez $5^{x}$ par $u$ .

$u - 5^{5} u^{- 1} = 150$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$u - 1 \cdot (3125 u^{- 1}) = 150$

Étape 5.2

Multipliez $- 1$ par $3125$ .

$u - 3125 u^{- 1} = 150$

Étape 5.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u - 3125 \frac{1}{u} = 150$

Étape 5.4

Associez $- 3125$ et $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{- 3125}{u} = 150$

Étape 5.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$u - \frac{3125}{u} = 150$

Étape 6

Résolvez $u$ .

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Étape 6.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 6.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, u, 1$

Étape 6.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$u$

Étape 6.2

Multiplier chaque terme dans $u - \frac{3125}{u} = 150$ par $u$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.2.1

Multipliez chaque terme dans $u - \frac{3125}{u} = 150$ par $u$ .

$u \cdot u - \frac{3125}{u} u = 150 u$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.1

Multipliez $u$ par $u$ .

$u^{2} - \frac{3125}{u} u = 150 u$

Étape 6.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $u$ .

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Étape 6.2.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3125}{u}$ dans le numérateur.

$u^{2} + \frac{- 3125}{u} u = 150 u$

Étape 6.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$u^{2} + \frac{- 3125}{u} u = 150 u$

Étape 6.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$u^{2} - 3125 = 150 u$

Étape 6.3

Résolvez l’équation.

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Étape 6.3.1

Soustrayez $150 u$ des deux côtés de l’équation.

$u^{2} - 3125 - 150 u = 0$

Étape 6.3.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.3.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 150$ et $c = - 3125$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{150 \pm \sqrt{{(- 150)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 3125)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.3.4

Simplifiez

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Étape 6.3.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.4.1.1

Élevez $- 150$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{150 \pm \sqrt{22500 - 4 \cdot 1 \cdot - 3125}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.3.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 3125$ .

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Étape 6.3.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{150 \pm \sqrt{22500 - 4 \cdot - 3125}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.3.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 3125$ .

$u = \frac{150 \pm \sqrt{22500 + 12500}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.3.4.1.3

Additionnez $22500$ et $12500$ .

$u = \frac{150 \pm \sqrt{35000}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.3.4.1.4

Réécrivez $35000$ comme $50^{2} \cdot 14$ .

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Étape 6.3.4.1.4.1

Factorisez $2500$ à partir de $35000$ .

$u = \frac{150 \pm \sqrt{2500 (14)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.3.4.1.4.2

Réécrivez $2500$ comme $50^{2}$ .

$u = \frac{150 \pm \sqrt{50^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.3.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{150 \pm 50 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.3.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{150 \pm 50 \sqrt{14}}{2}$

Étape 6.3.4.3

Simplifiez $\frac{150 \pm 50 \sqrt{14}}{2}$ .

$u = 75 \pm 25 \sqrt{14}$

Étape 6.3.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = 75 + 25 \sqrt{14}, 75 - 25 \sqrt{14}$

Étape 7

Remplacez $u$ par $75 + 25 \sqrt{14}$ dans $u = 5^{x}$ .

$75 + 25 \sqrt{14} = 5^{x}$

Étape 8

Résolvez $75 + 25 \sqrt{14} = 5^{x}$ .

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Étape 8.1

Réécrivez l’équation comme $5^{x} = 75 + 25 \sqrt{14}$ .

$5^{x} = 75 + 25 \sqrt{14}$

Étape 8.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (5^{x}) = \ln (75 + 25 \sqrt{14})$

Étape 8.3

Développez $\ln (5^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (5) = \ln (75 + 25 \sqrt{14})$

Étape 8.4

Divisez chaque terme dans $x \ln (5) = \ln (75 + 25 \sqrt{14})$ par $\ln (5)$ et simplifiez.

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Étape 8.4.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (5) = \ln (75 + 25 \sqrt{14})$ par $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (75 + 25 \sqrt{14})}{\ln (5)}$

Étape 8.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.4.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (5)$ .

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Étape 8.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (75 + 25 \sqrt{14})}{\ln (5)}$

Étape 8.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (75 + 25 \sqrt{14})}{\ln (5)}$

Étape 9

Remplacez $u$ par $75 - 25 \sqrt{14}$ dans $u = 5^{x}$ .

$75 - 25 \sqrt{14} = 5^{x}$

Étape 10

Résolvez $75 - 25 \sqrt{14} = 5^{x}$ .

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Étape 10.1

Réécrivez l’équation comme $5^{x} = 75 - 25 \sqrt{14}$ .

$5^{x} = 75 - 25 \sqrt{14}$

Étape 10.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (5^{x}) = \ln (75 - 25 \sqrt{14})$

Étape 10.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (75 - 25 \sqrt{14})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 10.4

Il n’y a pas de solution pour $5^{x} = 75 - 25 \sqrt{14}$

Aucune solution

Étape 11

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = \frac{\ln (75 + 25 \sqrt{14})}{\ln (5)}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{\ln (75 + 25 \sqrt{14})}{\ln (5)}$

Forme décimale :

$x = 3.18569705 \dots$

Étape 13