Algèbre Exemples

$f (x) = 36 + 36 x - 13 x^{2} - 13 x^{3} + x^{4} + x^{5}$

Étape 1

Définissez $36 + 36 x - 13 x^{2} - 13 x^{3} + x^{4} + x^{5}$ égal à $0$ .

$36 + 36 x - 13 x^{2} - 13 x^{3} + x^{4} + x^{5} = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Regroupez les termes.

$36 - 13 x^{2} + x^{4} + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0$

Étape 2.1.2

Réécrivez le point milieu.

$36 + 2 \cdot (6 x^{2}) - 25 x^{2} + x^{4} + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0$

Étape 2.1.3

Réorganisez les termes.

$36 + 2 \cdot (6 x^{2}) + x^{4} - 25 x^{2} + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez les trois premiers termes selon la règle du carré parfait.

${(6 + x^{2})}^{2} - 25 x^{2} + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0$

Étape 2.1.5

Réécrivez $25 x^{2}$ comme ${(5 x)}^{2}$ .

${(6 + x^{2})}^{2} - {(5 x)}^{2} + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0$

Étape 2.1.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 6 + x^{2}$ et $b = 5 x$ .

$(6 + x^{2} + 5 x) (6 + x^{2} - (5 x)) + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0$

Étape 2.1.7

Simplifiez

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Étape 2.1.7.1

Factorisez $6 + x^{2} + 5 x$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.7.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $5$ .

$2, 3$

Étape 2.1.7.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - (5 x)) + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0$

Étape 2.1.7.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0$

Étape 2.1.8

Factorisez $x$ à partir de $36 x - 13 x^{3} + x^{5}$ .

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Étape 2.1.8.1

Factorisez $x$ à partir de $36 x$ .

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x \cdot 36 - 13 x^{3} + x^{5} = 0$

Étape 2.1.8.2

Factorisez $x$ à partir de $- 13 x^{3}$ .

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x \cdot 36 + x (- 13 x^{2}) + x^{5} = 0$

Étape 2.1.8.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x \cdot 36 + x (- 13 x^{2}) + x \cdot x^{4} = 0$

Étape 2.1.8.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 36 + x (- 13 x^{2})$ .

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x \cdot (36 - 13 x^{2}) + x \cdot x^{4} = 0$

Étape 2.1.8.5

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot (36 - 13 x^{2}) + x \cdot x^{4}$ .

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x (36 - 13 x^{2} + x^{4}) = 0$

Étape 2.1.9

Réécrivez le point milieu.

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x (36 + 2 \cdot (6 x^{2}) - 25 x^{2} + x^{4}) = 0$

Étape 2.1.10

Réorganisez les termes.

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x (36 + 2 \cdot (6 x^{2}) + x^{4} - 25 x^{2}) = 0$

Étape 2.1.11

Factorisez les trois premiers termes selon la règle du carré parfait.

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x ({(6 + x^{2})}^{2} - 25 x^{2}) = 0$

Étape 2.1.12

Réécrivez $25 x^{2}$ comme ${(5 x)}^{2}$ .

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x ({(6 + x^{2})}^{2} - {(5 x)}^{2}) = 0$

Étape 2.1.13

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 6 + x^{2}$ et $b = 5 x$ .

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x ((6 + x^{2} + 5 x) (6 + x^{2} - (5 x))) = 0$

Étape 2.1.14

Factorisez.

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Étape 2.1.14.1

Simplifiez

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Étape 2.1.14.1.1

Factorisez $6 + x^{2} + 5 x$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.14.1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $5$ .

$2, 3$

Étape 2.1.14.1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x ((x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - (5 x))) = 0$

Étape 2.1.14.1.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x ((x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)) = 0$

Étape 2.1.14.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x (x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) = 0$

Étape 2.1.15

Factorisez $(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)$ à partir de $(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x (x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)$ .

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Étape 2.1.15.1

Factorisez $(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)$ à partir de $(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)$ .

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) (1) + x (x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) = 0$

Étape 2.1.15.2

Factorisez $(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)$ à partir de $x (x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)$ .

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) (1) + (x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) (x) = 0$

Étape 2.1.15.3

Factorisez $(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)$ à partir de $(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) (1) + (x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) (x)$ .

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) (1 + x) = 0$

Étape 2.1.16

Factorisez.

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Étape 2.1.16.1

Factorisez $6 + x^{2} - 5 x$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.16.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 3, - 2$

Étape 2.1.16.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 2) (x + 3) ((x - 3) (x - 2)) (1 + x) = 0$

Étape 2.1.16.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 2) (x + 3) (x - 3) (x - 2) (1 + x) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

$1 + x = 0$

Étape 2.3

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.3.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.4

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 2.4.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.5

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.6

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.6.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.7

Définissez $1 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.7.1

Définissez $1 + x$ égal à $0$ .

$1 + x = 0$

Étape 2.7.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 2) (x + 3) (x - 3) (x - 2) (1 + x) = 0$ vraie.

$x = - 2, - 3, 3, 2, - 1$

Étape 3