Algèbre Exemples

$x^{3} - 2 x^{2} - 7 x - 4 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Factorisez $x^{3} - 2 x^{2} - 7 x - 4$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Étape 1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Étape 1.1.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.1.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

${(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} - 7 \cdot - 1 - 4$

Étape 1.1.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 1 - 2 {(- 1)}^{2} - 7 \cdot - 1 - 4$

Étape 1.1.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 1 - 2 \cdot 1 - 7 \cdot - 1 - 4$

Étape 1.1.3.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 1 - 2 - 7 \cdot - 1 - 4$

Étape 1.1.3.5

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$- 3 - 7 \cdot - 1 - 4$

Étape 1.1.3.6

Multipliez $- 7$ par $- 1$ .

$- 3 + 7 - 4$

Étape 1.1.3.7

Additionnez $- 3$ et $7$ .

$4 - 4$

Étape 1.1.3.8

Soustrayez $4$ de $4$ .

$0$

Étape 1.1.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 7 x - 4}{x + 1}$

Étape 1.1.5

Divisez $x^{3} - 2 x^{2} - 7 x - 4$ par $x + 1$ .

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Étape 1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$7 x$

$4$

Étape 1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$4$

Étape 1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$4$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Étape 1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$7 x$

Étape 1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 3 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$7 x$

Étape 1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$

Étape 1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 3 x^{2} - 3 x$

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Étape 1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$

Étape 1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$4$

Étape 1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$4$

Étape 1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$4$
							-	$4 x$	-	$4$

Étape 1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 x - 4$

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$4$
							+	$4 x$	+	$4$

Étape 1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$4$
							+	$4 x$	+	$4$
										$0$

Étape 1.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 3 x - 4$

Étape 1.1.6

Écrivez $x^{3} - 2 x^{2} - 7 x - 4$ comme un ensemble de facteurs.

$(x + 1) (x^{2} - 3 x - 4) = 0$

Étape 1.2

Factorisez $x^{2} - 3 x - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Factorisez $x^{2} - 3 x - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 4, 1$

Étape 1.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 1) ((x - 4) (x + 1)) = 0$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 1) (x - 4) (x + 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 3

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 4

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x - 4) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = - 1, 4$

Étape 6