Algèbre Exemples

$x^{4} + x^{3} - x^{2} + x - 2$

Étape 1

Définissez $x^{4} + x^{3} - x^{2} + x - 2$ égal à $0$ .

$x^{4} + x^{3} - x^{2} + x - 2 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Regroupez les termes.

$x^{4} - x^{2} + x^{3} + x - 2 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} - x^{2}$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - x^{2} + x^{3} + x - 2 = 0$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 + x^{3} + x - 2 = 0$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (x^{2} - 1) + x^{3} + x - 2 = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) + x^{3} + x - 2 = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez.

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Étape 2.1.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) + x^{3} + x - 2 = 0$

Étape 2.1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + x^{3} + x - 2 = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez $x^{3} + x - 2$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1.5.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Étape 2.1.5.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2$

Étape 2.1.5.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.1.5.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$1^{3} + 1 - 2$

Étape 2.1.5.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$1 + 1 - 2$

Étape 2.1.5.3.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 - 2$

Étape 2.1.5.3.4

Soustrayez $2$ de $2$ .

$0$

Étape 2.1.5.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} + x - 2}{x - 1}$

Étape 2.1.5.5

Divisez $x^{3} + x - 2$ par $x - 1$ .

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Étape 2.1.5.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

Étape 2.1.5.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$

Étape 2.1.5.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 2.1.5.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 2.1.5.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Étape 2.1.5.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Étape 2.1.5.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Étape 2.1.5.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Étape 2.1.5.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} - x$

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Étape 2.1.5.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$

Étape 2.1.5.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$

Étape 2.1.5.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$

Étape 2.1.5.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

Étape 2.1.5.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x - 2$

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

Étape 2.1.5.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$
										$0$

Étape 2.1.5.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + x + 2$

Étape 2.1.5.6

Écrivez $x^{3} + x - 2$ comme un ensemble de facteurs.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + (x - 1) (x^{2} + x + 2) = 0$

Étape 2.1.6

Factorisez $x - 1$ à partir de $x^{2} (x + 1) (x - 1) + (x - 1) (x^{2} + x + 2)$ .

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Étape 2.1.6.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $x^{2} (x + 1) (x - 1)$ .

$(x - 1) (x^{2} (x + 1)) + (x - 1) (x^{2} + x + 2) = 0$

Étape 2.1.6.2

Factorisez $x - 1$ à partir de $(x - 1) (x^{2} (x + 1)) + (x - 1) (x^{2} + x + 2)$ .

$(x - 1) (x^{2} (x + 1) + x^{2} + x + 2) = 0$

Étape 2.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$(x - 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} + x + 2) = 0$

Étape 2.1.8

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.8.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.1.8.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x - 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} + x + 2) = 0$

Étape 2.1.8.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x - 1) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} + x + 2) = 0$

Étape 2.1.8.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} + x + 2) = 0$

Étape 2.1.9

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} + x^{2} + x + 2) = 0$

Étape 2.1.10

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$(x - 1) (x^{3} + 2 x^{2} + x + 2) = 0$

Étape 2.1.11

Factorisez.

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Étape 2.1.11.1

Réécrivez $x^{3} + 2 x^{2} + x + 2$ en forme factorisée.

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Étape 2.1.11.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.11.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x - 1) ((x^{3} + 2 x^{2}) + x + 2) = 0$

Étape 2.1.11.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x - 1) (x^{2} (x + 2) + 1 (x + 2)) = 0$

Étape 2.1.11.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 2$ .

$(x - 1) ((x + 2) (x^{2} + 1)) = 0$

Étape 2.1.11.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 1) (x + 2) (x^{2} + 1) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.4

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.4.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.5

Définissez $x^{2} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x^{2} + 1$ égal à $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $x^{2} + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 1$

Étape 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 2.5.2.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i$

Étape 2.5.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i$

Étape 2.5.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i$

Étape 2.5.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i, - i$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (x + 2) (x^{2} + 1) = 0$ vraie.

$x = 1, - 2, i, - i$

Étape 3