Algèbre Exemples

$f (x) = \log_{9} (2 x + 3) + \log_{9} (x - 2)$

Étape 1

Définissez $\log_{9} (2 x + 3) + \log_{9} (x - 2)$ égal à $0$ .

$\log_{9} (2 x + 3) + \log_{9} (x - 2) = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{9} ((2 x + 3) (x - 2)) = 0$

Étape 2.1.2

Développez $(2 x + 3) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{9} (2 x (x - 2) + 3 (x - 2)) = 0$

Étape 2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{9} (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 3 (x - 2)) = 0$

Étape 2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{9} (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 3 x + 3 \cdot - 2) = 0$

Étape 2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\log_{9} (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 + 3 x + 3 \cdot - 2) = 0$

Étape 2.1.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log_{9} (2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 + 3 x + 3 \cdot - 2) = 0$

Étape 2.1.3.1.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\log_{9} (2 x^{2} - 4 x + 3 x + 3 \cdot - 2) = 0$

Étape 2.1.3.1.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\log_{9} (2 x^{2} - 4 x + 3 x - 6) = 0$

Étape 2.1.3.2

Additionnez $- 4 x$ et $3 x$ .

$\log_{9} (2 x^{2} - x - 6) = 0$

Étape 2.2

Réécrivez $\log_{9} (2 x^{2} - x - 6) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$9^{0} = 2 x^{2} - x - 6$

Étape 2.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Réécrivez l’équation comme $2 x^{2} - x - 6 = 9^{0}$ .

$2 x^{2} - x - 6 = 9^{0}$

Étape 2.3.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$2 x^{2} - x - 6 = 1$

Étape 2.3.3

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} - x - 6 - 1 = 0$

Étape 2.3.3.2

Soustrayez $1$ de $- 6$ .

$2 x^{2} - x - 7 = 0$

Étape 2.3.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.3.5

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = - 1$ et $c = - 7$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 7)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.3.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.6.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.6.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.3.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.3.6.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 7$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 56}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.3.6.1.3

Additionnez $1$ et $56$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.3.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{57}}{4}$

Étape 2.3.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{1 + \sqrt{57}}{4}, \frac{1 - \sqrt{57}}{4}$

Étape 2.4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{9} (2 x + 3) + \log_{9} (x - 2) = 0$ vrai.

$x = \frac{1 + \sqrt{57}}{4}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{1 + \sqrt{57}}{4}$

Forme décimale :

$x = 2.13745860 \dots$

Étape 4