Algèbre Exemples

$0 = x^{4} - 3 x^{3} + 10 x^{2} - 24 x + 16$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $x^{4} - 3 x^{3} + 10 x^{2} - 24 x + 16 = 0$ .

$x^{4} - 3 x^{3} + 10 x^{2} - 24 x + 16 = 0$

Étape 2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Regroupez les termes.

$- 3 x^{3} - 24 x + x^{4} + 10 x^{2} + 16 = 0$

Étape 2.2

Factorisez $- 3 x$ à partir de $- 3 x^{3} - 24 x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $- 3 x$ à partir de $- 3 x^{3}$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 24 x + x^{4} + 10 x^{2} + 16 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $- 3 x$ à partir de $- 24 x$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot 8 + x^{4} + 10 x^{2} + 16 = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $- 3 x$ à partir de $- 3 x (x^{2}) - 3 x (8)$ .

$- 3 x (x^{2} + 8) + x^{4} + 10 x^{2} + 16 = 0$

Étape 2.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} + 8) + {(x^{2})}^{2} + 10 x^{2} + 16 = 0$

Étape 2.4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- 3 x (x^{2} + 8) + u^{2} + 10 u + 16 = 0$

Étape 2.5

Factorisez $u^{2} + 10 u + 16$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $16$ et dont la somme est $10$ .

$2, 8$

Étape 2.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 3 x (x^{2} + 8) + (u + 2) (u + 8) = 0$

Étape 2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} + 8) + (x^{2} + 2) (x^{2} + 8) = 0$

Étape 2.7

Factorisez $x^{2} + 8$ à partir de $- 3 x (x^{2} + 8) + (x^{2} + 2) (x^{2} + 8)$ .

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Étape 2.7.1

Factorisez $x^{2} + 8$ à partir de $- 3 x (x^{2} + 8)$ .

$(x^{2} + 8) (- 3 x) + (x^{2} + 2) (x^{2} + 8) = 0$

Étape 2.7.2

Factorisez $x^{2} + 8$ à partir de $(x^{2} + 2) (x^{2} + 8)$ .

$(x^{2} + 8) (- 3 x) + (x^{2} + 8) (x^{2} + 2) = 0$

Étape 2.7.3

Factorisez $x^{2} + 8$ à partir de $(x^{2} + 8) (- 3 x) + (x^{2} + 8) (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} + 8) (- 3 x + x^{2} + 2) = 0$

Étape 2.8

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x^{2} + 8) (- 3 u + u^{2} + 2) = 0$

Étape 2.9

Factorisez $- 3 u + u^{2} + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.9.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 2, - 1$

Étape 2.9.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x^{2} + 8) ((u - 2) (u - 1)) = 0$

Étape 2.10

Factorisez.

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Étape 2.10.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x^{2} + 8) ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Étape 2.10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} + 8) (x - 2) (x - 1) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} + 8 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 4

Définissez $x^{2} + 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x^{2} + 8$ égal à $0$ .

$x^{2} + 8 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x^{2} + 8 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 8$

Étape 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 8}$

Étape 4.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 8}$ .

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Étape 4.2.3.1

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (8)}$

Étape 4.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (8)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$

Étape 4.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{8}$

Étape 4.2.3.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.2.3.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}$

Étape 4.2.3.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Étape 4.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm i \cdot (2 \sqrt{2})$

Étape 4.2.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 2 i \sqrt{2}$

Étape 4.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2 i \sqrt{2}$

Étape 4.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2 i \sqrt{2}$

Étape 4.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2 i \sqrt{2}, - 2 i \sqrt{2}$

Étape 5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 6

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} + 8) (x - 2) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 2 i \sqrt{2}, - 2 i \sqrt{2}, 2, 1$

Étape 8