Algèbre Exemples

$3 x^{3} + x^{2} - 38 x + 24 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Factorisez $3 x^{3} + x^{2} - 38 x + 24$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 3$

Étape 1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 24, \pm 8, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 12, \pm 4, \pm 3, \pm 2.\overline{6}, \pm 1.\overline{3}, \pm 6$

Étape 1.1.3

Remplacez $0.\overline{6}$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $0.\overline{6}$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.1.3.1

Remplacez $0.\overline{6}$ dans le polynôme.

$3 \cdot {0.\overline{6}}^{3} + {0.\overline{6}}^{2} - 38 \cdot 0.\overline{6} + 24$

Étape 1.1.3.2

Élevez $0.\overline{6}$ à la puissance $3$ .

$3 \cdot 0.\overline{296} + {0.\overline{6}}^{2} - 38 \cdot 0.\overline{6} + 24$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $0.\overline{296}$ .

$0.\overline{8} + {0.\overline{6}}^{2} - 38 \cdot 0.\overline{6} + 24$

Étape 1.1.3.4

Élevez $0.\overline{6}$ à la puissance $2$ .

$0.\overline{8} + 0.\overline{4} - 38 \cdot 0.\overline{6} + 24$

Étape 1.1.3.5

Additionnez $0.\overline{8}$ et $0.\overline{4}$ .

$1.\overline{3} - 38 \cdot 0.\overline{6} + 24$

Étape 1.1.3.6

Multipliez $- 38$ par $0.\overline{6}$ .

$1.\overline{3} - 25.\overline{3} + 24$

Étape 1.1.3.7

Soustrayez $25.\overline{3}$ de $1.\overline{3}$ .

$- 24 + 24$

Étape 1.1.3.8

Additionnez $- 24$ et $24$ .

$0$

Étape 1.1.4

Comme $0.\overline{6}$ est une racine connue, divisez le polynôme par $3 x - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{3 x^{3} + x^{2} - 38 x + 24}{3 x - 2}$

Étape 1.1.5

Divisez $3 x^{3} + x^{2} - 38 x + 24$ par $3 x - 2$ .

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Étape 1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$3 x$

$2$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$38 x$

$24$

Étape 1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

					$x^{2}$
	$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$38 x$	+	$24$

Étape 1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$38 x$	+	$24$
			+	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$38 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$38 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Étape 1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$38 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$38 x$

Étape 1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$38 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$38 x$

Étape 1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$38 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$38 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$2 x$

Étape 1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x^{2} - 2 x$

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$38 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$38 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$

Étape 1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$38 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$38 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$36 x$

Étape 1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$38 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$38 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$36 x$	+	$24$

Étape 1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 36 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$38 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$38 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$36 x$	+	$24$

Étape 1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$38 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$38 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$36 x$	+	$24$
							-	$36 x$	+	$24$

Étape 1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 36 x + 24$

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$38 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$38 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$36 x$	+	$24$
							+	$36 x$	-	$24$

Étape 1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$38 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$38 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$36 x$	+	$24$
							+	$36 x$	-	$24$
										$0$

Étape 1.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + x - 12$

Étape 1.1.6

Écrivez $3 x^{3} + x^{2} - 38 x + 24$ comme un ensemble de facteurs.

$(3 x - 2) (x^{2} + x - 12) = 0$

Étape 1.2

Factorisez $x^{2} + x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Factorisez $x^{2} + x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $1$ .

$- 3, 4$

Étape 1.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(3 x - 2) ((x - 3) (x + 4)) = 0$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(3 x - 2) (x - 3) (x + 4) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 3

Définissez $3 x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $3 x - 2$ égal à $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $3 x - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 2$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Étape 4

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 5

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x - 2) (x - 3) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = \frac{2}{3}, 3, - 4$

Étape 7