Algèbre Exemples

$x^{2} - 3 (x + 1) \leq x - 3 x - 3$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 3 x - 3 \cdot 1 \leq x - 3 x - 3$

Étape 1.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$x^{2} - 3 x - 3 \leq x - 3 x - 3$

Étape 2

Soustrayez $3 x$ de $x$ .

$x^{2} - 3 x - 3 \leq - 2 x - 3$

Étape 3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 3.1

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} - 3 x - 3 + 2 x \leq - 3$

Étape 3.2

Additionnez $- 3 x$ et $2 x$ .

$x^{2} - x - 3 \leq - 3$

Étape 4

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} - x - 3 = - 3$

Étape 5

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - x - 3 + 3 = 0$

Étape 6

Associez les termes opposés dans $x^{2} - x - 3 + 3$ .

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Étape 6.1

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$x^{2} - x + 0 = 0$

Étape 6.2

Additionnez $x^{2} - x$ et $0$ .

$x^{2} - x = 0$

Étape 7

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - x$ .

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Étape 7.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x \cdot x - x = 0$

Étape 7.2

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 0$

Étape 7.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$x (x - 1) = 0$

Étape 8

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 9

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 10

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 10.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 11

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, 1$

Étape 12

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Étape 13

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 13.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 13.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 2)}^{2} - 3 ((- 2) + 1) \leq (- 2) - 3 \cdot - 2 - 3$

Étape 13.1.3

Le côté gauche $7$ est supérieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 13.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.5$

Étape 13.2.2

Remplacez $x$ par $0.5$ dans l’inégalité d’origine.

${(0.5)}^{2} - 3 ((0.5) + 1) \leq (0.5) - 3 \cdot 0.5 - 3$

Étape 13.2.3

Le côté gauche $- 4.25$ est inférieur au côté droit $- 4$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 13.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 13.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

${(4)}^{2} - 3 ((4) + 1) \leq (4) - 3 \cdot 4 - 3$

Étape 13.3.3

Le côté gauche $1$ est supérieur au côté droit $- 11$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 13.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

Étape 14

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 \leq x \leq 1$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$0 \leq x \leq 1$

Notation d’intervalle :

$[0, 1]$

Étape 16