Algèbre Exemples

$\frac{1}{x - a} + \frac{1}{x + a} = \frac{2}{x - 1}$

Étape 1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x - a, x + a, x - 1$

Étape 1.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 1.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 1.4

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 1.5

Le facteur pour $x - a$ est $x - a$ lui-même.

$(x - a) = x - a$

$(x - a)$ se produit $1$ fois.

Étape 1.6

Le facteur pour $x + a$ est $x + a$ lui-même.

$(x + a) = x + a$

$(x + a)$ se produit $1$ fois.

Étape 1.7

Le facteur pour $x - 1$ est $x - 1$ lui-même.

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 1.8

Le plus petit multiple commun de $x - a, x + a, x - 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(x - a) (x + a) (x - 1)$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{x - a} + \frac{1}{x + a} = \frac{2}{x - 1}$ par $(x - a) (x + a) (x - 1)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{x - a} + \frac{1}{x + a} = \frac{2}{x - 1}$ par $(x - a) (x + a) (x - 1)$ .

$\frac{1}{x - a} ((x - a) (x + a) (x - 1)) + \frac{1}{x + a} ((x - a) (x + a) (x - 1)) = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x - a$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Factorisez $x - a$ à partir de $(x - a) (x + a) (x - 1)$ .

$\frac{1}{x - a} ((x - a) ((x + a) (x - 1))) + \frac{1}{x + a} ((x - a) (x + a) (x - 1)) = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x - a} ((x - a) ((x + a) (x - 1))) + \frac{1}{x + a} ((x - a) (x + a) (x - 1)) = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Étape 2.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$(x + a) (x - 1) + \frac{1}{x + a} ((x - a) (x + a) (x - 1)) = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Étape 2.2.1.2

Développez $(x + a) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x - 1) + a (x - 1) + \frac{1}{x + a} ((x - a) (x + a) (x - 1)) = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Étape 2.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + a (x - 1) + \frac{1}{x + a} ((x - a) (x + a) (x - 1)) = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Étape 2.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + a x + a \cdot - 1 + \frac{1}{x + a} ((x - a) (x + a) (x - 1)) = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Étape 2.2.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 + a x + a \cdot - 1 + \frac{1}{x + a} ((x - a) (x + a) (x - 1)) = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Étape 2.2.1.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x + a x + a \cdot - 1 + \frac{1}{x + a} ((x - a) (x + a) (x - 1)) = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Étape 2.2.1.3.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x^{2} - x + a x + a \cdot - 1 + \frac{1}{x + a} ((x - a) (x + a) (x - 1)) = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Étape 2.2.1.3.4

Déplacez $- 1$ à gauche de $a$ .

$x^{2} - x + a x - 1 \cdot a + \frac{1}{x + a} ((x - a) (x + a) (x - 1)) = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Étape 2.2.1.3.5

Réécrivez $- 1 a$ comme $- a$ .

$x^{2} - x + a x - a + \frac{1}{x + a} ((x - a) (x + a) (x - 1)) = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Étape 2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $x + a$ .

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Étape 2.2.1.4.1

Factorisez $x + a$ à partir de $(x - a) (x + a) (x - 1)$ .

$x^{2} - x + a x - a + \frac{1}{x + a} ((x + a) ((x - a) (x - 1))) = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Étape 2.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} - x + a x - a + \frac{1}{x + a} ((x + a) ((x - a) (x - 1))) = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Étape 2.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} - x + a x - a + (x - a) (x - 1) = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Étape 2.2.1.5

Développez $(x - a) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - x + a x - a + x (x - 1) - a (x - 1) = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Étape 2.2.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - x + a x - a + x \cdot x + x \cdot - 1 - a (x - 1) = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Étape 2.2.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - x + a x - a + x \cdot x + x \cdot - 1 - a x - a \cdot - 1 = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Étape 2.2.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.6.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} - x + a x - a + x^{2} + x \cdot - 1 - a x - a \cdot - 1 = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Étape 2.2.1.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - x + a x - a + x^{2} - 1 \cdot x - a x - a \cdot - 1 = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Étape 2.2.1.6.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x^{2} - x + a x - a + x^{2} - x - a x - a \cdot - 1 = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Étape 2.2.1.6.4

Multipliez $- a \cdot - 1$ .

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Étape 2.2.1.6.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{2} - x + a x - a + x^{2} - x - a x + 1 a = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Étape 2.2.1.6.4.2

Multipliez $a$ par $1$ .

$x^{2} - x + a x - a + x^{2} - x - a x + a = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Étape 2.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.2.1

Associez les termes opposés dans $x^{2} - x + a x - a + x^{2} - x - a x + a$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Soustrayez $a x$ de $a x$ .

$x^{2} - x - a + x^{2} - x + 0 + a = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Étape 2.2.2.1.2

Additionnez $x^{2} - x - a + x^{2} - x$ et $0$ .

$x^{2} - x - a + x^{2} - x + a = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Étape 2.2.2.1.3

Additionnez $- a$ et $a$ .

$x^{2} - x + x^{2} - x + 0 = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Étape 2.2.2.1.4

Additionnez $x^{2} - x + x^{2} - x$ et $0$ .

$x^{2} - x + x^{2} - x = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$2 x^{2} - x - x = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Étape 2.2.2.3

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$2 x^{2} - 2 x = \frac{2}{x - 1} ((x - a) (x + a) (x - 1))$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $(x - a) (x + a) (x - 1)$ .

$2 x^{2} - 2 x = \frac{2}{x - 1} ((x - 1) ((x - a) (x + a)))$

Étape 2.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{2} - 2 x = \frac{2}{x - 1} ((x - 1) ((x - a) (x + a)))$

Étape 2.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{2} - 2 x = 2 ((x - a) (x + a))$

Étape 2.3.2

Développez $(x - a) (x + a)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - 2 x = 2 (x (x + a) - a (x + a))$

Étape 2.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - 2 x = 2 (x \cdot x + x a - a (x + a))$

Étape 2.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - 2 x = 2 (x \cdot x + x a - a x - a \cdot a)$

Étape 2.3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.3.1

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x a - a x - a \cdot a$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x a$ et $- a x$ .

$2 x^{2} - 2 x = 2 (x \cdot x + a x - a x - a \cdot a)$

Étape 2.3.3.1.2

Soustrayez $a x$ de $a x$ .

$2 x^{2} - 2 x = 2 (x \cdot x + 0 - a \cdot a)$

Étape 2.3.3.1.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$2 x^{2} - 2 x = 2 (x \cdot x - a \cdot a)$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{2} - 2 x = 2 (x^{2} - a \cdot a)$

Étape 2.3.3.2.2

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.3.2.2.1

Déplacez $a$ .

$2 x^{2} - 2 x = 2 (x^{2} - (a \cdot a))$

Étape 2.3.3.2.2.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$2 x^{2} - 2 x = 2 (x^{2} - a^{2})$

Étape 2.3.3.3

Simplifiez en multipliant.

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Étape 2.3.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - 2 x = 2 x^{2} + 2 (- a^{2})$

Étape 2.3.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 x^{2} - 2 x = 2 x^{2} - 2 a^{2}$

Étape 3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.1

Soustrayez $2 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} = - 2 a^{2}$

Étape 3.1.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2}$ .

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Étape 3.1.2.1

Soustrayez $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$- 2 x + 0 = - 2 a^{2}$

Étape 3.1.2.2

Additionnez $- 2 x$ et $0$ .

$- 2 x = - 2 a^{2}$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 2 a^{2}$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 2 a^{2}$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 2 a^{2}}{- 2}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 2 a^{2}}{- 2}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 a^{2}}{- 2}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 3.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{- 2 a^{2}}{- 2}$

Étape 3.2.3.1.2

Divisez $a^{2}$ par $1$ .

$x = a^{2}$