Algèbre Exemples

$\sqrt{x + 2} = 2 x + 1$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x + 2}}^{2} = {(2 x + 1)}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 2}$ comme ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x + 1)}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x + 1)}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x + 1)}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x + 2)}^{1} = {(2 x + 1)}^{2}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$x + 2 = {(2 x + 1)}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez ${(2 x + 1)}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez ${(2 x + 1)}^{2}$ comme $(2 x + 1) (2 x + 1)$ .

$x + 2 = (2 x + 1) (2 x + 1)$

Étape 2.3.1.2

Développez $(2 x + 1) (2 x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x + 2 = 2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)$

Étape 2.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x + 2 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)$

Étape 2.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x + 2 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x + 2 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$x + 2 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x + 2 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$x + 2 = 4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.3.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$x + 2 = 4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.3.1.5

Multipliez $2 x$ par $1$ .

$x + 2 = 4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1$

Étape 2.3.1.3.1.6

Multipliez $1$ par $1$ .

$x + 2 = 4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1$

Étape 2.3.1.3.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$x + 2 = 4 x^{2} + 4 x + 1$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$4 x^{2} + 4 x + 1 = x + 2$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} + 4 x + 1 - x = 2$

Étape 3.2.2

Soustrayez $x$ de $4 x$ .

$4 x^{2} + 3 x + 1 = 2$

Étape 3.3

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} + 3 x + 1 - 2 = 0$

Étape 3.4

Soustrayez $2$ de $1$ .

$4 x^{2} + 3 x - 1 = 0$

Étape 3.5

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ et dont la somme est $b = 3$ .

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Étape 3.5.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$4 x^{2} + 3 (x) - 1 = 0$

Étape 3.5.1.2

Réécrivez $3$ comme $- 1$ plus $4$

$4 x^{2} + (- 1 + 4) x - 1 = 0$

Étape 3.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} - 1 x + 4 x - 1 = 0$

Étape 3.5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(4 x^{2} - 1 x) + 4 x - 1 = 0$

Étape 3.5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (4 x - 1) + 1 (4 x - 1) = 0$

Étape 3.5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 x - 1$ .

$(4 x - 1) (x + 1) = 0$

Étape 3.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 3.7

Définissez $4 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.7.1

Définissez $4 x - 1$ égal à $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Étape 3.7.2

Résolvez $4 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.7.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = 1$

Étape 3.7.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x = 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 1$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 3.7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 3.7.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Étape 3.8

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.8.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 3.8.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 3.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(4 x - 1) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{4}, - 1$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sqrt{x + 2} = 2 x + 1$ vrai.

$x = \frac{1}{4}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{1}{4}$

Forme décimale :

$x = 0.25$