Algèbre Exemples

$n^{\frac{1}{2}} + 6 n^{\frac{1}{4}} - 16 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Réécrivez $n^{\frac{1}{2}}$ comme ${(n^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

${(n^{\frac{1}{4}})}^{2} + 6 n^{\frac{1}{4}} - 16 = 0$

Étape 1.2

Laissez $u = n^{\frac{1}{4}}$ . Remplacez toutes les occurrences de $n^{\frac{1}{4}}$ par $u$ .

$u^{2} + 6 u - 16 = 0$

Étape 1.3

Factorisez $u^{2} + 6 u - 16$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 16$ et dont la somme est $6$ .

$- 2, 8$

Étape 1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 2) (u + 8) = 0$

Étape 1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $n^{\frac{1}{4}}$ .

$(n^{\frac{1}{4}} - 2) (n^{\frac{1}{4}} + 8) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$n^{\frac{1}{4}} - 2 = 0$

$n^{\frac{1}{4}} + 8 = 0$

Étape 3

Définissez $n^{\frac{1}{4}} - 2$ égal à $0$ et résolvez $n$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez $n^{\frac{1}{4}} - 2$ égal à $0$ .

$n^{\frac{1}{4}} - 2 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $n^{\frac{1}{4}} - 2 = 0$ pour $n$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$n^{\frac{1}{4}} = 2$

Étape 3.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $4$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(n^{\frac{1}{4}})}^{4} = 2^{4}$

Étape 3.2.3

Simplifiez l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1.1

Simplifiez ${(n^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(n^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$n^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 2^{4}$

Étape 3.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$n^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 2^{4}$

Étape 3.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$n^{1} = 2^{4}$

Étape 3.2.3.1.1.2

Simplifiez

$n = 2^{4}$

Étape 3.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.2.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$n = 16$

Étape 4

Définissez $n^{\frac{1}{4}} + 8$ égal à $0$ et résolvez $n$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez $n^{\frac{1}{4}} + 8$ égal à $0$ .

$n^{\frac{1}{4}} + 8 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $n^{\frac{1}{4}} + 8 = 0$ pour $n$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$n^{\frac{1}{4}} = - 8$

Étape 4.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $4$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(n^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- 8)}^{4}$

Étape 4.2.3

Simplifiez l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.1

Simplifiez ${(n^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(n^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$n^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 8)}^{4}$

Étape 4.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$n^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 8)}^{4}$

Étape 4.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$n^{1} = {(- 8)}^{4}$

Étape 4.2.3.1.1.2

Simplifiez

$n = {(- 8)}^{4}$

Étape 4.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.2.1

Élevez $- 8$ à la puissance $4$ .

$n = 4096$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(n^{\frac{1}{4}} - 2) (n^{\frac{1}{4}} + 8) = 0$ vraie.

$n = 16, 4096$

Étape 6

Excluez les solutions qui ne rendent pas $n^{\frac{1}{2}} + 6 n^{\frac{1}{4}} - 16 = 0$ vrai.

$n = 16$