Algèbre Exemples

$x + 4 < \frac{5}{x}$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$(x + 4) x = \frac{5}{x} x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Simplifiez $(x + 4) x$ .

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + 4 x = \frac{5}{x} x$

Étape 2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + 4 x = \frac{5}{x} x$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + 4 x = \frac{5}{x} x$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} + 4 x = 5$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 4 x - 5 = 0$

Étape 3.2

Factorisez $x^{2} + 4 x - 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 5$ et dont la somme est $4$ .

$- 1, 5$

Étape 3.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 1) (x + 5) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 3.4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 3.5

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 3.5.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (x + 5) = 0$ vraie.

$x = 1, - 5$

Étape 4

Déterminez le domaine de $x + 4 - \frac{5}{x}$ .

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Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{5}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 4.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 5$

$- 5 < x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Étape 6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 6.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$(- 8) + 4 < \frac{5}{- 8}$

Étape 6.1.3

Le côté gauche $- 4$ est inférieur au côté droit $- 0.625$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 6.2.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$(- 2) + 4 < \frac{5}{- 2}$

Étape 6.2.3

Le côté gauche $2$ n’est pas inférieur au côté droit $- 2.5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.5$

Étape 6.3.2

Remplacez $x$ par $0.5$ dans l’inégalité d’origine.

$(0.5) + 4 < \frac{5}{0.5}$

Étape 6.3.3

Le côté gauche $4.5$ est inférieur au côté droit $10$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 6.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 6.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$(4) + 4 < \frac{5}{4}$

Étape 6.4.3

Le côté gauche $8$ n’est pas inférieur au côté droit $1.25$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 6.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 5$ Vrai

$- 5 < x < 0$ Faux

$0 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

$x < - 5$ Vrai

$- 5 < x < 0$ Faux

$0 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

Étape 7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 5$ ou $0 < x < 1$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - 5 or 0 < x < 1$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 5) \cup (0, 1)$

Étape 9