Algèbre Exemples

$\ln (\frac{e}{\sqrt{e^{5}}})$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $e^{5}$ comme ${(e^{2})}^{2} e$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $e^{4}$ .

$\ln (\frac{e}{\sqrt{e^{4} e}})$

Étape 1.1.2

Réécrivez $e^{4}$ comme ${(e^{2})}^{2}$ .

$\ln (\frac{e}{\sqrt{{(e^{2})}^{2} e}})$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\ln (\frac{e}{e^{2} \sqrt{e}})$

Étape 2

Annulez le facteur commun à $e$ et $e^{2}$ .

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Étape 2.1

Multipliez par $1$ .

$\ln (\frac{e \cdot 1}{e^{2} \sqrt{e}})$

Étape 2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.1

Factorisez $e$ à partir de $e^{2} \sqrt{e}$ .

$\ln (\frac{e \cdot 1}{e (e \sqrt{e})})$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{e \cdot 1}{e (e \sqrt{e})})$

Étape 2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{1}{e \sqrt{e}})$

Étape 3

Multipliez $\frac{1}{e \sqrt{e}}$ par $\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$ .

$\ln (\frac{1}{e \sqrt{e}} \cdot \frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}})$

Étape 4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{1}{e \sqrt{e}}$ par $\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{e}}{e \sqrt{e} \sqrt{e}})$

Étape 4.2

Déplacez $\sqrt{e}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{e}}{e (\sqrt{e} \sqrt{e})})$

Étape 4.3

Élevez $\sqrt{e}$ à la puissance $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{e}}{e ({\sqrt{e}}^{1} \sqrt{e})})$

Étape 4.4

Élevez $\sqrt{e}$ à la puissance $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{e}}{e ({\sqrt{e}}^{1} {\sqrt{e}}^{1})})$

Étape 4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (\frac{\sqrt{e}}{e {\sqrt{e}}^{1 + 1}})$

Étape 4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{e}}{e {\sqrt{e}}^{2}})$

Étape 4.7

Réécrivez ${\sqrt{e}}^{2}$ comme $e$ .

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Étape 4.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{e}$ comme $e^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{e}}{e {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 4.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{e}}{e e^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 4.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\ln (\frac{\sqrt{e}}{e e^{\frac{2}{2}}})$

Étape 4.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{\sqrt{e}}{e e^{\frac{2}{2}}})$

Étape 4.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{\sqrt{e}}{e e^{1}})$

Étape 4.7.5

Simplifiez

$\ln (\frac{\sqrt{e}}{e e})$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{e}}{e^{1} e})$

Étape 5.2

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{e}}{e^{1} e^{1}})$

Étape 5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (\frac{\sqrt{e}}{e^{1 + 1}})$

Étape 5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{e}}{e^{2}})$

Étape 6

Placez $e^{2}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\ln (\sqrt{e} e^{- 2})$

Étape 7

Réécrivez $\ln (\sqrt{e} e^{- 2})$ comme $\ln (\sqrt{e}) + \ln (e^{- 2})$ .

$\ln (\sqrt{e}) + \ln (e^{- 2})$

Étape 8

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $- 2$ de l’exposant.

$\ln (\sqrt{e}) - 2 \ln (e)$

Étape 9

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (\sqrt{e}) - 2 \cdot 1$

Étape 10

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\ln (\sqrt{e}) - 2$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\ln (\sqrt{e}) - 2$

Forme décimale :

$- 1.5$