Algèbre Exemples

$f (x) = \sqrt[3]{x - 1 + 4}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \sqrt[3]{x - 1 + 4}$ comme une équation.

$y = \sqrt[3]{x - 1 + 4}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \sqrt[3]{y - 1 + 4}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt[3]{y - 1 + 4} = x$ .

$\sqrt[3]{y - 1 + 4} = x$

Étape 3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{y - 1 + 4}}^{3} = x^{3}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{y - 1 + 4}$ comme ${(y - 1 + 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(y - 1 + 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${({(y - 1 + 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y - 1 + 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 1 + 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y - 1 + 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Étape 3.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y - 1 + 4)}^{1} = x^{3}$

Étape 3.3.2.1.2

Additionnez $- 1$ et $4$ .

${(y + 3)}^{1} = x^{3}$

Étape 3.3.2.1.3

Simplifiez

$y + 3 = x^{3}$

Étape 3.4

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$y = x^{3} - 3$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 3$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = x^{3} - 3$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[3]{x - 1 + 4}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 1 + 4})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 1 + 4}) = {(\sqrt[3]{x - 1 + 4})}^{3} - 3$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 1 + 4}) = {\sqrt[3]{x + 3}}^{3} - 3$

Étape 5.2.3.2

Réécrivez ${\sqrt[3]{x + 3}}^{3}$ comme $x + 3$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x + 3}$ comme ${(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 1 + 4}) = {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 3$

Étape 5.2.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 1 + 4}) = {(x + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 3$

Étape 5.2.3.2.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 1 + 4}) = {(x + 3)}^{\frac{3}{3}} - 3$

Étape 5.2.3.2.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 1 + 4}) = {(x + 3)}^{\frac{3}{3}} - 3$

Étape 5.2.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 1 + 4}) = (x + 3) - 3$

Étape 5.2.3.2.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 1 + 4}) = x + 3 - 3$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 3 - 3$ .

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Étape 5.2.4.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 1 + 4}) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 1 + 4}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (x^{3} - 3)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (x^{3} - 3) = \sqrt[3]{(x^{3} - 3) - 1 + 4}$

Étape 5.3.3

Soustrayez $1$ de $- 3$ .

$f (x^{3} - 3) = \sqrt[3]{x^{3} - 4 + 4}$

Étape 5.3.4

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$f (x^{3} - 3) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Étape 5.3.5

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$f (x^{3} - 3) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Étape 5.3.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f (x^{3} - 3) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = x^{3} - 3$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[3]{x - 1 + 4}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 3$