Algèbre Exemples

$\frac{12 x + 48}{6 x - 15} \cdot \frac{4 x^{2} - 25}{x^{2} + 9 x + 20}$

Étape 1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1

Factorisez $12$ à partir de $12 x + 48$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $12$ à partir de $12 x$ .

$\frac{12 (x) + 48}{6 x - 15} \cdot \frac{4 x^{2} - 25}{x^{2} + 9 x + 20}$

Étape 1.1.2

Factorisez $12$ à partir de $48$ .

$\frac{12 x + 12 \cdot 4}{6 x - 15} \cdot \frac{4 x^{2} - 25}{x^{2} + 9 x + 20}$

Étape 1.1.3

Factorisez $12$ à partir de $12 x + 12 \cdot 4$ .

$\frac{12 (x + 4)}{6 x - 15} \cdot \frac{4 x^{2} - 25}{x^{2} + 9 x + 20}$

Étape 1.2

Factorisez $3$ à partir de $6 x - 15$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6 x$ .

$\frac{12 (x + 4)}{3 (2 x) - 15} \cdot \frac{4 x^{2} - 25}{x^{2} + 9 x + 20}$

Étape 1.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 15$ .

$\frac{12 (x + 4)}{3 (2 x) + 3 (- 5)} \cdot \frac{4 x^{2} - 25}{x^{2} + 9 x + 20}$

Étape 1.2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (2 x) + 3 (- 5)$ .

$\frac{12 (x + 4)}{3 (2 x - 5)} \cdot \frac{4 x^{2} - 25}{x^{2} + 9 x + 20}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{12 (x + 4)}{3 (2 x - 5)} \cdot \frac{{(2 x)}^{2} - 25}{x^{2} + 9 x + 20}$

Étape 2.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{12 (x + 4)}{3 (2 x - 5)} \cdot \frac{{(2 x)}^{2} - 5^{2}}{x^{2} + 9 x + 20}$

Étape 2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 x$ et $b = 5$ .

$\frac{12 (x + 4)}{3 (2 x - 5)} \cdot \frac{(2 x + 5) (2 x - 5)}{x^{2} + 9 x + 20}$

Étape 3

Factorisez $x^{2} + 9 x + 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $20$ et dont la somme est $9$ .

$4, 5$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{12 (x + 4)}{3 (2 x - 5)} \cdot \frac{(2 x + 5) (2 x - 5)}{(x + 4) (x + 5)}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $x + 4$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $x + 4$ à partir de $12 (x + 4)$ .

$\frac{(x + 4) \cdot 12}{3 (2 x - 5)} \cdot \frac{(2 x + 5) (2 x - 5)}{(x + 4) (x + 5)}$

Étape 4.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 4) \cdot 12}{3 (2 x - 5)} \cdot \frac{(2 x + 5) (2 x - 5)}{(x + 4) (x + 5)}$

Étape 4.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{12}{3 (2 x - 5)} \cdot \frac{(2 x + 5) (2 x - 5)}{x + 5}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $2 x - 5$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $2 x - 5$ à partir de $3 (2 x - 5)$ .

$\frac{12}{(2 x - 5) \cdot 3} \cdot \frac{(2 x + 5) (2 x - 5)}{x + 5}$

Étape 4.2.2

Factorisez $2 x - 5$ à partir de $(2 x + 5) (2 x - 5)$ .

$\frac{12}{(2 x - 5) \cdot 3} \cdot \frac{(2 x - 5) (2 x + 5)}{x + 5}$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{12}{(2 x - 5) \cdot 3} \cdot \frac{(2 x - 5) (2 x + 5)}{x + 5}$

Étape 4.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{12}{3} \cdot \frac{2 x + 5}{x + 5}$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{12}{3}$ par $\frac{2 x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{12 (2 x + 5)}{3 (x + 5)}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun à $12$ et $3$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $3$ à partir de $12 (2 x + 5)$ .

$\frac{3 (4 (2 x + 5))}{3 (x + 5)}$

Étape 4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (4 (2 x + 5))}{3 (x + 5)}$

Étape 4.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 (2 x + 5)}{x + 5}$