Algèbre Exemples

$\sqrt{2 x + 6 + 4} = x + 3$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{2 x + 6 + 4}}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x + 6 + 4}$ comme ${(2 x + 6 + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x + 6 + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(2 x + 6 + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 x + 6 + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + 6 + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 3)}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 x + 6 + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 3)}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 x + 6 + 4)}^{1} = {(x + 3)}^{2}$

Étape 2.2.1.2

Additionnez $6$ et $4$ .

${(2 x + 10)}^{1} = {(x + 3)}^{2}$

Étape 2.2.1.3

Simplifiez

$2 x + 10 = {(x + 3)}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez ${(x + 3)}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez ${(x + 3)}^{2}$ comme $(x + 3) (x + 3)$ .

$2 x + 10 = (x + 3) (x + 3)$

Étape 2.3.1.2

Développez $(x + 3) (x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 10 = x (x + 3) + 3 (x + 3)$

Étape 2.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 10 = x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)$

Étape 2.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 10 = x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x + 10 = x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3$

Étape 2.3.1.3.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$2 x + 10 = x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3$

Étape 2.3.1.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$2 x + 10 = x^{2} + 3 x + 3 x + 9$

Étape 2.3.1.3.2

Additionnez $3 x$ et $3 x$ .

$2 x + 10 = x^{2} + 6 x + 9$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{2} + 6 x + 9 = 2 x + 10$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 6 x + 9 - 2 x = 10$

Étape 3.2.2

Soustrayez $2 x$ de $6 x$ .

$x^{2} + 4 x + 9 = 10$

Étape 3.3

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 4 x + 9 - 10 = 0$

Étape 3.3.2

Soustrayez $10$ de $9$ .

$x^{2} + 4 x - 1 = 0$

Étape 3.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.5

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 4$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 3.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.3

Additionnez $16$ et $4$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 3.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Étape 3.6.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{5}$

Étape 3.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 2 + \sqrt{5}, - 2 - \sqrt{5}$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sqrt{2 x + 6 + 4} = x + 3$ vrai.

$x = - 2 + \sqrt{5}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - 2 + \sqrt{5}$

Forme décimale :

$x = 0.23606797 \dots$