Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 5 x} \cdot \frac{5 x - x^{2}}{x^{2} - x - 12} \div \frac{x - 4}{x^{2} - 8 x + 16}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 5 x} \cdot \frac{5 x - x^{2}}{x^{2} - x - 12} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 3^{2}}{x^{2} - 5 x} \cdot \frac{5 x - x^{2}}{x^{2} - x - 12} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2} - 5 x} \cdot \frac{5 x - x^{2}}{x^{2} - x - 12} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Étape 3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 5 x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x \cdot x - 5 x} \cdot \frac{5 x - x^{2}}{x^{2} - x - 12} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Étape 3.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 5 x$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x \cdot x + x \cdot - 5} \cdot \frac{5 x - x^{2}}{x^{2} - x - 12} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Étape 3.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 5$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x (x - 5)} \cdot \frac{5 x - x^{2}}{x^{2} - x - 12} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Étape 3.2

Factorisez $x$ à partir de $5 x - x^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $5 x$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x (x - 5)} \cdot \frac{x \cdot 5 - x^{2}}{x^{2} - x - 12} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Étape 3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x (x - 5)} \cdot \frac{x \cdot 5 + x (- x)}{x^{2} - x - 12} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Étape 3.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 5 + x (- x)$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x (x - 5)} \cdot \frac{x (5 - x)}{x^{2} - x - 12} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Étape 4

Factorisez $x^{2} - x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 4, 3$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x (x - 5)} \cdot \frac{x (5 - x)}{(x - 4) (x + 3)} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $x + 3$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $x + 3$ à partir de $(x - 4) (x + 3)$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x (x - 5)} \cdot \frac{x (5 - x)}{(x + 3) (x - 4)} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Étape 5.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x (x - 5)} \cdot \frac{x (5 - x)}{(x + 3) (x - 4)} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Étape 5.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 3}{x (x - 5)} \cdot \frac{x (5 - x)}{x - 4} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x - 3}{x (x - 5)} \cdot \frac{x (5 - x)}{x - 4} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 3}{x - 5} \cdot \frac{5 - x}{x - 4} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Étape 5.3

Multipliez $\frac{x - 3}{x - 5}$ par $\frac{5 - x}{x - 4}$ .

$\frac{(x - 3) (5 - x)}{(x - 5) (x - 4)} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun à $5 - x$ et $x - 5$ .

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Étape 5.4.1

Réécrivez $5$ comme $- 1 (- 5)$ .

$\frac{(x - 3) (- 1 (- 5) - x)}{(x - 5) (x - 4)} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Étape 5.4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{(x - 3) (- 1 (- 5) - (x))}{(x - 5) (x - 4)} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Étape 5.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 5) - (x)$ .

$\frac{(x - 3) (- 1 (- 5 + x))}{(x - 5) (x - 4)} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Étape 5.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(x - 3) (- 1 (x - 5))}{(x - 5) (x - 4)} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Étape 5.4.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 3) (- 1 (x - 5))}{(x - 5) (x - 4)} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Étape 5.4.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - 3) \cdot (- 1)}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Étape 5.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.5.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $x - 3$ .

$\frac{- 1 \cdot (x - 3)}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Étape 5.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x - 3}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Étape 6

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 6.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$- \frac{x - 3}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 4^{2}}{x - 4}$

Étape 6.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Étape 6.3

Réécrivez le polynôme.

$- \frac{x - 3}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}}{x - 4}$

Étape 6.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 4$ .

$- \frac{x - 3}{x - 4} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{x - 4}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $x - 4$ .

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Étape 7.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x - 3}{x - 4}$ dans le numérateur.

$\frac{- (x - 3)}{x - 4} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{x - 4}$

Étape 7.1.2

Factorisez $x - 4$ à partir de ${(x - 4)}^{2}$ .

$\frac{- (x - 3)}{x - 4} \cdot \frac{(x - 4) (x - 4)}{x - 4}$

Étape 7.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- (x - 3)}{x - 4} \cdot \frac{(x - 4) (x - 4)}{x - 4}$

Étape 7.1.4

Réécrivez l’expression.

$- (x - 3) \frac{x - 4}{x - 4}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $x - 4$ .

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun.

$- (x - 3) \frac{x - 4}{x - 4}$

Étape 7.2.2

Réécrivez l’expression.

$- (x - 3) \cdot 1$

Étape 7.3

Multipliez $- (x - 3)$ par $1$ .

$- (x - 3)$

Étape 7.4

Appliquez la propriété distributive.

$- x - - 3$

Étape 7.5

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$- x + 3$