Algèbre Exemples

$\frac{x}{x + 4} \geq 2$

Étape 1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{x}{x + 4} - 2 \geq 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{x}{x + 4} - 2$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{x}{x + 4} - 2 \cdot \frac{x + 4}{x + 4} \geq 0$

Étape 2.2

Associez $- 2$ et $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{x}{x + 4} + \frac{- 2 (x + 4)}{x + 4} \geq 0$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x - 2 (x + 4)}{x + 4} \geq 0$

Étape 2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 2 x - 2 \cdot 4}{x + 4} \geq 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$\frac{x - 2 x - 8}{x + 4} \geq 0$

Étape 2.4.3

Soustrayez $2 x$ de $x$ .

$\frac{- x - 8}{x + 4} \geq 0$

Étape 2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (x) - 8}{x + 4} \geq 0$

Étape 2.6

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$\frac{- (x) - 1 (8)}{x + 4} \geq 0$

Étape 2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (8)$ .

$\frac{- (x + 8)}{x + 4} \geq 0$

Étape 2.8

Réécrivez $- (x + 8)$ comme $- 1 (x + 8)$ .

$\frac{- 1 (x + 8)}{x + 4} \geq 0$

Étape 2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x + 8}{x + 4} \geq 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x + 8 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 4

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 8$

Étape 5

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 6

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - 8$

$x = - 4$

Étape 7

Consolidez les solutions.

$x = - 8, - 4$

Étape 8

Déterminez le domaine de $- \frac{x + 8}{x + 4}$ .

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Étape 8.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x + 8}{x + 4}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 4 = 0$

Étape 8.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 8.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 4$

$x > - 4$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 10$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $- 10$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{- 10}{(- 10) + 4} \geq 2$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $1.\overline{6}$ est inférieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 8 < x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 8 < x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{- 6}{(- 6) + 4} \geq 2$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $3$ est supérieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{0}{(0) + 4} \geq 2$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 8$ Faux

$- 8 < x < - 4$ Vrai

$x > - 4$ Faux

$x < - 8$ Faux

$- 8 < x < - 4$ Vrai

$x > - 4$ Faux

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 8 \leq x < - 4$

Étape 12