Algèbre Exemples

$\log_{256} (x) < \frac{1}{4}$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une égalité.

$\log_{256} (x) = \frac{1}{4}$

Étape 2

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez $\log_{256} (x) = \frac{1}{4}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$256^{\frac{1}{4}} = x$

Étape 2.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Réécrivez l’équation comme $x = 256^{\frac{1}{4}}$ .

$x = 256^{\frac{1}{4}}$

Étape 2.2.2

Simplifiez $256^{\frac{1}{4}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.1

Réécrivez $256$ comme $4^{4}$ .

$x = {(4^{4})}^{\frac{1}{4}}$

Étape 2.2.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 4^{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 2.2.2.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = 4^{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 2.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = 4^{1}$

Étape 2.2.2.3

Évaluez l’exposant.

$x = 4$

Étape 3

Déterminez le domaine de $\log_{256} (x) - \frac{1}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez l’argument dans $\log_{256} (x)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x > 0$

Étape 3.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(0, \infty)$

Étape 4

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Étape 5

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 5.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{256} (- 2) < \frac{1}{4}$

Étape 5.1.3

Déterminez si l’inégalité est vraie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 5.1.3.2

Le côté gauche n’a pas de solution, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 5.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{256} (2) < \frac{1}{4}$

Étape 5.2.3

Le côté gauche $0.125$ est inférieur au côté droit $0.25$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 5.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 5.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{256} (6) < \frac{1}{4}$

Étape 5.3.3

Le côté gauche $0.32312031$ n’est pas inférieur au côté droit $0.25$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

Étape 6

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 < x < 4$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$0 < x < 4$

Notation d’intervalle :

$(0, 4)$

Étape 8