Algèbre Exemples

$(4 x^{2} + 3 x + 7) (- 2 x^{2} + x + 2)$

Étape 1

Pour écrire un polynôme en forme normalisée, simplifiez puis classez les termes par ordre décroissant.

$a x^{2} + b x + c$

Étape 2

Développez $(4 x^{2} + 3 x + 7) (- 2 x^{2} + x + 2)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$4 x^{2} (- 2 x^{2}) + 4 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 2 + 3 x (- 2 x^{2}) + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 + 7 (- 2 x^{2}) + 7 x + 7 \cdot 2$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 \cdot - 2 x^{2} x^{2} + 4 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 2 + 3 x (- 2 x^{2}) + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 + 7 (- 2 x^{2}) + 7 x + 7 \cdot 2$

Étape 3.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$4 \cdot - 2 (x^{2} x^{2}) + 4 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 2 + 3 x (- 2 x^{2}) + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 + 7 (- 2 x^{2}) + 7 x + 7 \cdot 2$

Étape 3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \cdot - 2 x^{2 + 2} + 4 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 2 + 3 x (- 2 x^{2}) + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 + 7 (- 2 x^{2}) + 7 x + 7 \cdot 2$

Étape 3.1.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$4 \cdot - 2 x^{4} + 4 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 2 + 3 x (- 2 x^{2}) + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 + 7 (- 2 x^{2}) + 7 x + 7 \cdot 2$

Étape 3.1.3

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$- 8 x^{4} + 4 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 2 + 3 x (- 2 x^{2}) + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 + 7 (- 2 x^{2}) + 7 x + 7 \cdot 2$

Étape 3.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.4.1

Déplacez $x$ .

$- 8 x^{4} + 4 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 2 + 3 x (- 2 x^{2}) + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 + 7 (- 2 x^{2}) + 7 x + 7 \cdot 2$

Étape 3.1.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 8 x^{4} + 4 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 2 + 3 x (- 2 x^{2}) + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 + 7 (- 2 x^{2}) + 7 x + 7 \cdot 2$

Étape 3.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 8 x^{4} + 4 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot 2 + 3 x (- 2 x^{2}) + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 + 7 (- 2 x^{2}) + 7 x + 7 \cdot 2$

Étape 3.1.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 8 x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} \cdot 2 + 3 x (- 2 x^{2}) + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 + 7 (- 2 x^{2}) + 7 x + 7 \cdot 2$

Étape 3.1.5

Multipliez $2$ par $4$ .

$- 8 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 3 x (- 2 x^{2}) + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 + 7 (- 2 x^{2}) + 7 x + 7 \cdot 2$

Étape 3.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 8 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 3 \cdot - 2 x \cdot x^{2} + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 + 7 (- 2 x^{2}) + 7 x + 7 \cdot 2$

Étape 3.1.7

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- 8 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 3 \cdot - 2 (x^{2} x) + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 + 7 (- 2 x^{2}) + 7 x + 7 \cdot 2$

Étape 3.1.7.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.1.7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 8 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 3 \cdot - 2 (x^{2} x^{1}) + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 + 7 (- 2 x^{2}) + 7 x + 7 \cdot 2$

Étape 3.1.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 8 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 3 \cdot - 2 x^{2 + 1} + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 + 7 (- 2 x^{2}) + 7 x + 7 \cdot 2$

Étape 3.1.7.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$- 8 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 3 \cdot - 2 x^{3} + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 + 7 (- 2 x^{2}) + 7 x + 7 \cdot 2$

Étape 3.1.8

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$- 8 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 6 x^{3} + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 + 7 (- 2 x^{2}) + 7 x + 7 \cdot 2$

Étape 3.1.9

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.9.1

Déplacez $x$ .

$- 8 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 6 x^{3} + 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 2 + 7 (- 2 x^{2}) + 7 x + 7 \cdot 2$

Étape 3.1.9.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 8 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 6 x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 2 + 7 (- 2 x^{2}) + 7 x + 7 \cdot 2$

Étape 3.1.10

Multipliez $2$ par $3$ .

$- 8 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 6 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x + 7 (- 2 x^{2}) + 7 x + 7 \cdot 2$

Étape 3.1.11

Multipliez $- 2$ par $7$ .

$- 8 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 6 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x - 14 x^{2} + 7 x + 7 \cdot 2$

Étape 3.1.12

Multipliez $7$ par $2$ .

$- 8 x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 6 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x - 14 x^{2} + 7 x + 14$

Étape 3.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $6 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$- 8 x^{4} - 2 x^{3} + 8 x^{2} + 3 x^{2} + 6 x - 14 x^{2} + 7 x + 14$

Étape 3.2.2

Additionnez $8 x^{2}$ et $3 x^{2}$ .

$- 8 x^{4} - 2 x^{3} + 11 x^{2} + 6 x - 14 x^{2} + 7 x + 14$

Étape 3.2.3

Soustrayez $14 x^{2}$ de $11 x^{2}$ .

$- 8 x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 x + 7 x + 14$

Étape 3.2.4

Additionnez $6 x$ et $7 x$ .

$- 8 x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 13 x + 14$