Algèbre Exemples

$f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 1$ , $x \geq 2$

Étape 1

Déterminez la plage de la fonction donnée.

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Étape 1.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

$[- 7, \infty)$

Étape 1.2

Convertissez $[- 7, \infty)$ en une inégalité.

$y \geq - 7$

Étape 2

Déterminez l’inverse.

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Étape 2.1

Interchangez les variables.

$x = 2 y^{2} - 8 y + 1$

Étape 2.2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.2.1

Réécrivez l’équation comme $2 y^{2} - 8 y + 1 = x$ .

$2 y^{2} - 8 y + 1 = x$

Étape 2.2.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$2 y^{2} - 8 y + 1 - x = 0$

Étape 2.2.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.2.4

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = - 8$ et $c = 1 - x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (1 - x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.5

Simplifiez

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Étape 2.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.5.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.5.1.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.5.1.4

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.5.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.5.1.6

Soustrayez $8$ de $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{56 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.5.1.7

Factorisez $8$ à partir de $56 + 8 x$ .

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Étape 2.2.5.1.7.1

Factorisez $8$ à partir de $56$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 \cdot 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.5.1.7.2

Factorisez $8$ à partir de $8 \cdot 7 + 8 x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.5.1.8

Réécrivez $8 (7 + x)$ comme $2^{2} \cdot (2 (7 + x))$ .

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Étape 2.2.5.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.5.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.5.1.8.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.5.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$

Étape 2.2.5.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Étape 2.2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.6.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.6.1.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.6.1.4

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.6.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.6.1.6

Soustrayez $8$ de $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{56 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.6.1.7

Factorisez $8$ à partir de $56 + 8 x$ .

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Étape 2.2.6.1.7.1

Factorisez $8$ à partir de $56$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 \cdot 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.6.1.7.2

Factorisez $8$ à partir de $8 \cdot 7 + 8 x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.6.1.8

Réécrivez $8 (7 + x)$ comme $2^{2} \cdot (2 (7 + x))$ .

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Étape 2.2.6.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.6.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.6.1.8.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.6.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$

Étape 2.2.6.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Étape 2.2.6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Étape 2.2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.7.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.7.1.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.7.1.4

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.7.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.7.1.6

Soustrayez $8$ de $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{56 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.7.1.7

Factorisez $8$ à partir de $56 + 8 x$ .

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Étape 2.2.7.1.7.1

Factorisez $8$ à partir de $56$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 \cdot 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.7.1.7.2

Factorisez $8$ à partir de $8 \cdot 7 + 8 x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.7.1.8

Réécrivez $8 (7 + x)$ comme $2^{2} \cdot (2 (7 + x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.7.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.7.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.7.1.8.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.7.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.2.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$

Étape 2.2.7.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Étape 2.2.7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Étape 2.2.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Étape 2.3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}, \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Étape 3

Déterminez l’inverse en utilisant le domaine et la plage de la fonction d’origine.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}, x \geq - 7$

Étape 4