Algèbre Exemples

$\frac{x}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} = \frac{1}{20}$

Étape 1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x + 1, x, 20$

Étape 1.2

Comme $x + 1, x, 20$ contiennent des nombres et des variables, quatre étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour les parties numériques, variables et variables composées. Ensuite, multipliez toutes les valeurs entre elles.

Les étapes pour déterminer le plus petit multiple commun pour $x + 1, x, 20$ sont :

1. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $1, 1, 20$ .

2. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $x^{1}$ .

3. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable composée $x + 1$ .

4. Multipliez tous les plus petits multiples communs entre eux.

Étape 1.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 1.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 1.5

Les facteurs premiers pour $20$ sont $2 \cdot 2 \cdot 5$ .

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Étape 1.5.1

$20$ a des facteurs de $2$ et $10$ .

$2 \cdot 10$

Étape 1.5.2

$10$ a des facteurs de $2$ et $5$ .

$2 \cdot 2 \cdot 5$

Étape 1.6

Multipliez $2 \cdot 2 \cdot 5$ .

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Étape 1.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \cdot 5$

Étape 1.6.2

Multipliez $4$ par $5$ .

$20$

Étape 1.7

Le facteur pour $x^{1}$ est $x$ lui-même.

$x^{1} = x$

$x$ se produit $1$ fois.

Étape 1.8

Le plus petit multiple commun de $x^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x$

Étape 1.9

Le facteur pour $x + 1$ est $x + 1$ lui-même.

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 1.10

Le plus petit multiple commun de $x + 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x + 1$

Étape 1.11

Le plus petit multiple commun $LCM$ de certains nombres est le plus petit nombre dont les nombres sont des facteurs.

$20 x (x + 1)$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $\frac{x}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} = \frac{1}{20}$ par $20 x (x + 1)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{x}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} = \frac{1}{20}$ par $20 x (x + 1)$ .

$\frac{x}{x + 1} (20 x (x + 1)) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$20 \frac{x}{x + 1} (x (x + 1)) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Étape 2.2.1.2

Associez $20$ et $\frac{x}{x + 1}$ .

$\frac{20 x}{x + 1} (x (x + 1)) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Étape 2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 2.2.1.3.1

Factorisez $x + 1$ à partir de $x (x + 1)$ .

$\frac{20 x}{x + 1} ((x + 1) x) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Étape 2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{20 x}{x + 1} ((x + 1) x) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Étape 2.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$20 x \cdot x - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Étape 2.2.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$20 (x^{1} x) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Étape 2.2.1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$20 (x^{1} x^{1}) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Étape 2.2.1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$20 x^{1 + 1} - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Étape 2.2.1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$20 x^{2} - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Étape 2.2.1.8

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.2.1.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x - 1}{x}$ dans le numérateur.

$20 x^{2} + \frac{- (x - 1)}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Étape 2.2.1.8.2

Factorisez $x$ à partir de $20 x (x + 1)$ .

$20 x^{2} + \frac{- (x - 1)}{x} (x (20 (x + 1))) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Étape 2.2.1.8.3

Annulez le facteur commun.

$20 x^{2} + \frac{- (x - 1)}{x} (x (20 (x + 1))) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Étape 2.2.1.8.4

Réécrivez l’expression.

$20 x^{2} - (x - 1) (20 (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Étape 2.2.1.9

Multipliez $20$ par $- 1$ .

$20 x^{2} - 20 (x - 1) (x + 1) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Étape 2.2.1.10

Appliquez la propriété distributive.

$20 x^{2} + (- 20 x - 20 \cdot - 1) (x + 1) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Étape 2.2.1.11

Multipliez $- 20$ par $- 1$ .

$20 x^{2} + (- 20 x + 20) (x + 1) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Étape 2.2.1.12

Développez $(- 20 x + 20) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$20 x^{2} - 20 x (x + 1) + 20 (x + 1) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Étape 2.2.1.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$20 x^{2} - 20 x \cdot x - 20 x \cdot 1 + 20 (x + 1) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Étape 2.2.1.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$20 x^{2} - 20 x \cdot x - 20 x \cdot 1 + 20 x + 20 \cdot 1 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Étape 2.2.1.13

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.1.13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.13.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.13.1.1.1

Déplacez $x$ .

$20 x^{2} - 20 (x \cdot x) - 20 x \cdot 1 + 20 x + 20 \cdot 1 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Étape 2.2.1.13.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$20 x^{2} - 20 x^{2} - 20 x \cdot 1 + 20 x + 20 \cdot 1 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Étape 2.2.1.13.1.2

Multipliez $- 20$ par $1$ .

$20 x^{2} - 20 x^{2} - 20 x + 20 x + 20 \cdot 1 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Étape 2.2.1.13.1.3

Multipliez $20$ par $1$ .

$20 x^{2} - 20 x^{2} - 20 x + 20 x + 20 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Étape 2.2.1.13.2

Additionnez $- 20 x$ et $20 x$ .

$20 x^{2} - 20 x^{2} + 0 + 20 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Étape 2.2.1.13.3

Additionnez $- 20 x^{2}$ et $0$ .

$20 x^{2} - 20 x^{2} + 20 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Étape 2.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.2.1

Soustrayez $20 x^{2}$ de $20 x^{2}$ .

$0 + 20 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $0$ et $20$ .

$20 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun de $20$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $20$ à partir de $20 x (x + 1)$ .

$20 = \frac{1}{20} (20 (x (x + 1)))$

Étape 2.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$20 = \frac{1}{20} (20 (x (x + 1)))$

Étape 2.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$20 = x (x + 1)$

Étape 2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$20 = x \cdot x + x \cdot 1$

Étape 2.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$20 = x^{2} + x \cdot 1$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$20 = x^{2} + x$

Étape 3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} + x = 20$ .

$x^{2} + x = 20$

Étape 3.2

Soustrayez $20$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + x - 20 = 0$

Étape 3.3

Factorisez $x^{2} + x - 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 20$ et dont la somme est $1$ .

$- 4, 5$

Étape 3.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 4) (x + 5) = 0$

Étape 3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 3.5

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 3.5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 3.6

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 3.6.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 4) (x + 5) = 0$ vraie.

$x = 4, - 5$