Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - 6 x + 8}{3 x - 12} \div \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 5 x + 6}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{x^{2} - 6 x + 8}{3 x - 12} \cdot \frac{x^{2} + 5 x + 6}{x^{2} - 4}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} - 6 x + 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $8$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 4, - 2$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 4) (x - 2)}{3 x - 12} \cdot \frac{x^{2} + 5 x + 6}{x^{2} - 4}$

Étape 3

Factorisez $3$ à partir de $3 x - 12$ .

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Étape 3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{(x - 4) (x - 2)}{3 (x) - 12} \cdot \frac{x^{2} + 5 x + 6}{x^{2} - 4}$

Étape 3.2

Factorisez $3$ à partir de $- 12$ .

$\frac{(x - 4) (x - 2)}{3 x + 3 \cdot - 4} \cdot \frac{x^{2} + 5 x + 6}{x^{2} - 4}$

Étape 3.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 3 \cdot - 4$ .

$\frac{(x - 4) (x - 2)}{3 (x - 4)} \cdot \frac{x^{2} + 5 x + 6}{x^{2} - 4}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $x - 4$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 4) (x - 2)}{3 (x - 4)} \cdot \frac{x^{2} + 5 x + 6}{x^{2} - 4}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 2}{3} \cdot \frac{x^{2} + 5 x + 6}{x^{2} - 4}$

Étape 5

Factorisez $x^{2} + 5 x + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $5$ .

$2, 3$

Étape 5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x - 2}{3} \cdot \frac{(x + 2) (x + 3)}{x^{2} - 4}$

Étape 6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{x - 2}{3} \cdot \frac{(x + 2) (x + 3)}{x^{2} - 2^{2}}$

Étape 6.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{x - 2}{3} \cdot \frac{(x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 7.1

Factorisez $x - 2$ à partir de $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{x - 2}{3} \cdot \frac{(x + 2) (x + 3)}{(x - 2) (x + 2)}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x - 2}{3} \cdot \frac{(x + 2) (x + 3)}{(x - 2) (x + 2)}$

Étape 7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{(x + 2) (x + 3)}{x + 2}$

Étape 8

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{(x + 2) (x + 3)}{x + 2}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 3)}{3 (x + 2)}$

Étape 9

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 2) (x + 3)}{3 (x + 2)}$

Étape 9.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 3}{3}$

Étape 10

Divisez la fraction $\frac{x + 3}{3}$ en deux fractions.

$\frac{x}{3} + \frac{3}{3}$

Étape 11

Divisez $3$ par $3$ .

$\frac{x}{3} + 1$