Algèbre Exemples

$\frac{7}{x + 1} = \frac{2 x + 4}{3 x - 3}$

Étape 1

Simplifiez les deux côtés.

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 4$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{7}{x + 1} = \frac{2 (x) + 4}{3 x - 3}$

Étape 1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{7}{x + 1} = \frac{2 x + 2 \cdot 2}{3 x - 3}$

Étape 1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot 2$ .

$\frac{7}{x + 1} = \frac{2 (x + 2)}{3 x - 3}$

Étape 1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 x - 3$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{7}{x + 1} = \frac{2 (x + 2)}{3 (x) - 3}$

Étape 1.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{7}{x + 1} = \frac{2 (x + 2)}{3 (x) + 3 (- 1)}$

Étape 1.2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (x) + 3 (- 1)$ .

$\frac{7}{x + 1} = \frac{2 (x + 2)}{3 (x - 1)}$

Étape 2

Multipliez le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction. Définissez une valeur égale au produit du dénominateur de la première fraction et du numérateur de la deuxième fraction.

$7 (3 (x - 1)) = (x + 1) (2 (x + 2))$

Étape 3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$(x + 1) \cdot (2 (x + 2)) = 7 \cdot (3 (x - 1))$

Étape 3.2

Simplifiez $(x + 1) \cdot (2 (x + 2))$ .

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Étape 3.2.1

Réécrivez.

$0 + 0 + (x + 1) \cdot (2 (x + 2)) = 7 \cdot (3 (x - 1))$

Étape 3.2.2

Simplifiez en multipliant.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 1) \cdot (2 x + 2 \cdot 2) = 7 \cdot (3 (x - 1))$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$(x + 1) \cdot (2 x + 4) = 7 \cdot (3 (x - 1))$

Étape 3.2.3

Développez $(x + 1) (2 x + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (2 x + 4) + 1 (2 x + 4) = 7 \cdot (3 (x - 1))$

Étape 3.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$x (2 x) + x \cdot 4 + 1 (2 x + 4) = 7 \cdot (3 (x - 1))$

Étape 3.2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$x (2 x) + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 = 7 \cdot (3 (x - 1))$

Étape 3.2.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 x \cdot x + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 = 7 \cdot (3 (x - 1))$

Étape 3.2.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.4.1.2.1

Déplacez $x$ .

$2 (x \cdot x) + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 = 7 \cdot (3 (x - 1))$

Étape 3.2.4.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{2} + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 = 7 \cdot (3 (x - 1))$

Étape 3.2.4.1.3

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$2 x^{2} + 4 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 = 7 \cdot (3 (x - 1))$

Étape 3.2.4.1.4

Multipliez $2 x$ par $1$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 x + 1 \cdot 4 = 7 \cdot (3 (x - 1))$

Étape 3.2.4.1.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 x + 4 = 7 \cdot (3 (x - 1))$

Étape 3.2.4.2

Additionnez $4 x$ et $2 x$ .

$2 x^{2} + 6 x + 4 = 7 \cdot (3 (x - 1))$

Étape 3.3

Simplifiez $7 \cdot (3 (x - 1))$ .

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} + 6 x + 4 = 7 \cdot (3 x + 3 \cdot - 1)$

Étape 3.3.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$2 x^{2} + 6 x + 4 = 7 \cdot (3 x - 3)$

Étape 3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} + 6 x + 4 = 7 (3 x) + 7 \cdot - 3$

Étape 3.3.4

Multipliez.

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Étape 3.3.4.1

Multipliez $3$ par $7$ .

$2 x^{2} + 6 x + 4 = 21 x + 7 \cdot - 3$

Étape 3.3.4.2

Multipliez $7$ par $- 3$ .

$2 x^{2} + 6 x + 4 = 21 x - 21$

Étape 3.4

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.4.1

Soustrayez $21 x$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} + 6 x + 4 - 21 x = - 21$

Étape 3.4.2

Soustrayez $21 x$ de $6 x$ .

$2 x^{2} - 15 x + 4 = - 21$

Étape 3.5

Ajoutez $21$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} - 15 x + 4 + 21 = 0$

Étape 3.6

Additionnez $4$ et $21$ .

$2 x^{2} - 15 x + 25 = 0$

Étape 3.7

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.7.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 25 = 50$ et dont la somme est $b = - 15$ .

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Étape 3.7.1.1

Factorisez $- 15$ à partir de $- 15 x$ .

$2 x^{2} - 15 x + 25 = 0$

Étape 3.7.1.2

Réécrivez $- 15$ comme $- 5$ plus $- 10$

$2 x^{2} + (- 5 - 10) x + 25 = 0$

Étape 3.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - 5 x - 10 x + 25 = 0$

Étape 3.7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.7.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 x^{2} - 5 x) - 10 x + 25 = 0$

Étape 3.7.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5) = 0$

Étape 3.7.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 5$ .

$(2 x - 5) (x - 5) = 0$

Étape 3.8

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Étape 3.9

Définissez $2 x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.9.1

Définissez $2 x - 5$ égal à $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Étape 3.9.2

Résolvez $2 x - 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.9.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 5$

Étape 3.9.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 5$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.9.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 5$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Étape 3.9.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.9.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.9.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Étape 3.9.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Étape 3.10

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.10.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 3.10.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 3.11

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x - 5) (x - 5) = 0$ vraie.

$x = \frac{5}{2}, 5$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{5}{2}, 5$

Forme décimale :

$x = 2.5, 5$

Forme de nombre mixte :

$x = 2 \frac{1}{2}, 5$